CHAPITRE XX. — COURBURE TANGENTTELLE

ou, en remplaçant do> par di-\- dj et réduisant,

sin i sin w = ( a, </a2 -+- p, tl{i* -1- yi ofys) sin/-+- (cosy — cosw cos/) a?/ ;

la dernière parenthèse se réduit à siruo sin/ ; on a donc, en divisant par sin/,

( 7 ) sin w = a, dx., -+- (B, rf(3j -+- yi «aî^s "+" s'n w °(/-

On aurait de même dans le trièdre MT2TP

cosT.2MP = siny cosâr = stga'-rf- (32 (3'-t- y«y' >

multipliant les formules précédentes par a2, fia, Y2j ajoutant et opérant comme précédemment, nous obtenons

(7' ) — - sinto = a.i c/a, — 32 c/3 L -+- 72 ûtyi -+- sin w rft.

Remarquons d'ailleurs que cette formule est une conséquence immédiate de la précédente (7) et de l'égalité évidente

(/(a,a2-(- (3i [52-t- Yi Y«) "+" s'n'° ^w = °-

91. Courbure des lignes coordonnées. — Si nous faisons dans la formule (7/) / = o, nous avons

dsi . da, d(3, dYi ,

sin tu = a2 - — au -+- 3-> -L- au -+- v> -7=- au,

p, dw ' ' au ou

ou remarquant que <a?^, =/". </'/

/sin tu dï, n d3, dy,

= aa -7 ~ + ?s tt1 -+- Ys -r1-

p, da ' d;/ ' du

Dérivons la formule/", a, = — par rapport à m :

d/ da , d2./-

du ' du du2

d'où, en multipliant cette formule et les deux analogues par a2, ^2?Y2 et ajoutant,

ôf .. sinon 1 / dx ôix à y à* y dz d2z\

costo -7- +/2 = — ( -: - -+- -r — r^r •+■ -s — n !

du p, g \ Or ou- di-' Ou'2 de du'2/

mais on a évidemment, en dérivant les formules (2) et (3),

dx à*x dy à2 y dz d*z

dv du2 dv du- dv dvi

à(fg cosco) / dx d2x dy à- y ùz d2z

du \ du du dv du du dv du du dv

à(fgCOSM) x$f m du ^ dv

Inéquation précédente peut donc s'écrire

du pi du J dv

d'où, en réduisant les termes semblables et divisant par/,

fgsinu ô{g cosco) df Çi du dv

On obtient de même l'expression delà courbure tangentielle — pour

la ligne a = const., en faisant 7 = o dans la formule (7) qui devient ainsi :

— fgsintx

O.r Oa2

dy d$% dz t'y 2

du dv

du dv ' du dv

On a immédiatement

dx doc2 dy cJ[32 dz d-(2 d(/g costi)) dg

du dv du dv du dv du ,s du

et l'on déduit, en substiluanl dans la formule précédente, fgsintu dg d(/cosco)

p2 du dv

Courbure tangentielle d'une ligne quelconque. — Il est facile de passer du cas des lignes coordonnées à celui d'une ligne quelconque faisant des angles /ety avec les lignes p= const., u = const. Faisons dans la formule (7') i = o, puis i = io; nous obtenons ainsi les deux relations

p, \ 2 du r~ du '2 du J

— -si

/ dx{ ., dQi dyi\ j dw j

inw= ( x2 — h p2 -£— -+- Y2 -T- ) dv -+- siri to — - dv ;

\ de ' dv ' c^ / t^