CHAPITRE XX. — COURBURE TANGENTIELLE

ajoutons membre à membre en tenant compte de la formule (^')

I ds\ ds*\ . ds . . ... ài<> .

( 1 sin 10 = — sin to — sin co ai -+- sin a» — — dv ,

\ Pi P2 / p • àv

d'où, en divisant par sinro,

ds ds, ds* di , dj ,

— = 1 1 du - dv,

P pi p2 Ou Ov

i t 7 ds\ ds-2

ou, en remplaçant au, dv par — -^ > — >

, «fc / i i ii\ , / i i dj\ . (io) — = {- -r. — ) dst+ l -f ) «fr,,

ce qui peut encore s'écrire

, ,. sinto / i i ch' \ . . / i i d/\ . .

P \Pi / au) J vP2 # «h»;

Les formules (8), (9), (10') donnent aisément l'expression générale

de -; multiplions en effet la dernière par fg sin tù, en tenant

compte des formules (8) et (9), nous aurons trois termes contenant

des dérivées — > trois autres contenant des dérivées — : si nous Ou Ov

séparons ces deuxsortes de termes nous obtenons pour les premiers

. .d( e cosoi) ... di . .de . 0(ecos /)

sin/ — h g sin/ sin ta i- sin 1 —— = sin oj — — —,

J du b J Ou du Ou

et pour les trois autres

àf . . . . c)(/cosio) . 0/ . . . . 0( feosi) 7- sin/ — sin j — / — sin 1 sin co = — sin 00 ,

Ov J ov J Ov Ov

d'où enfin pour l'expression générale de la courbure tangentielle

fg%\n,%ù à(ecosj) à(fcosi) lI' p ~ dû dv

92. Surfaces applicables l'une sur l'autre. — Éléments géodésiques. — Pour établir entre deux surfaces S et S, une correspondance point par point, il suffit d'exprimer les coordonnées rectangulaires de chaque point, pour l'une et pour l'autre, en fonction d'un même système de coordonnées curvilignes, d'ailleurs quelconque. D. 22

Supposons que les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, en d'autres termes qu'on puisse choisir le mode de correspondance de telle sorte que tout arc de courbe AB, appartenant à S, ait même longueur que J'arc correspondant A, B, situé sur S( ; cette propriété devant avoir lieu pour des arcs infiniment petits, l'expression analytique du ds- sera la même sur les deux surfaces et réciproquement.

Nous conviendrons d'appeler gêodésique tout élément qui se conserve quand on passe d'une surface S à n'importe quelle autre surface applicable sur celle-ci ; le caractère propre à tout élément gêodésique est de pouvoir s'exprimer en fonction des coefficients du ds- et de leurs dérivées; en particulier l'angle m sous lequel se coupent les lignes u =const., v = const., est un élément gêodésique; donc deux courbes quelconques situées sur l'une des surfaces S et S( se "coupent sous le même angle que les deux lignes correspondantes . Cela est, d'ailleurs, évident géométriquement, et la conservation des angles résulte de la conservation des longueurs d'arcs; on le voit en considérant sur les deux surfaces deux triangles infiniment petits ajant pour sommets trois couples de points correspondants.

Il résulte de l'équation (i i ) que la courbure tangentielle d'une ligne quelconque est un élément gêodésique. Cette courbure a la même valeur, que l'on considère la ligne comme tracée sur la surface S ou sur la développable circonscrite le long de cette ligne. Or, nous avons vu que toute surface développable est applicable sur le plan; la courbure tangentielle d'une ligne est donc égale à la courbure ordinaire de la ligne plane suivant laquelle se transforme la courbe donnée quand on applique sur un plan la développable circonscrite à la surface suivant cette courbe; c'est pour cette raison qu'on donne quelquefois à la courbure tangentielle le nom de courbure de développement.

Remarques. — i° La théorie générale des figures tracées sur une surface quelconque, déduite des propriétés des coefficients du ds2 est due à Gauss (' ) qui représente cet élément linéaire par la formule

ds- = E du2 -+■ 2 F du dv -H G dv*.

(') Gauss, Disquisitiones. Œuvres complètes, t. IV.