CHAPITRE XX. — COI RRURE TANGENTIELLE. 33g

Les notations que nous avons adoptées E=/-, F =fg cosoi, G = £r2, ont l'avantage de mettre en évidence L'angle des lignes coordonnées et d'éviter l'emploi des radicaux.

2" La courbure tangentielle - se confond avec la courbure

propre ^ lorsque la ligne considérée est une ligne asymptotique;

cette courbure -^-j qui ne peut être déterminée à l'aide du théorème de Meusnier (p. 272), pourra donc se calculer sans difficulté dans un système de coordonnées curvilignes convenablement choisi. Nous reviendrons plus tard sur ce point.

3° Sur le plan ou sur la sphère le cercle est caractérisé par la condition d'avoir, dans toute son étendue, une courbure tangentielle constante; par analogie nous appellerons cercle géodésicjue toute courbe, tracée sur une surface quelconque, dont la courbure tangentielle sera constante.

93. Cas particuliers. — Coordonnées orthogonales. — Lorsque l'angle to est égal à - les parallélogrammes élémentaires sont des

rectangles, l'angle y est le complément de l'angle 1; l'équation (3)

devient alors

dx dx dy dy dz dz du dv du dv du dv

et les formules relatives à la courbure tangentielle prennent la forme simple

^•l2' pj — <A>' pi du p du dv

et la formule ( 10) devient (Liouville, Note II à la suite de l'Analyse de Monge)

(i3) - == 1 (- — ( f du = ds cosj, g- dv = as %\m).

P pi ?2 ds

Nous ferons un fréquent usage de la formule (i3) ; pour le moment, considérons la seconde des formules (12). Le rectangle des lignes coordonnées nous donne dans le cas actuel (fîg> 97)

arcMMj = £-<*«>, arc M, M' = (g-*- -^duj dv, aireMM1M8M'=/g'rfa dv;

3jo quatrième: partie. — COORDONNÉES curvilignes sur une surface. on en conclut immédiatement

arcMiM'— arr-MMs i dg i aire MMiM'IW, ~~ /g ^" p7*

Or la ligne u = const. est quelconque, car on peut toujours prendre arbitrairement l'une des familles des lignes coordonnées, puis compléter le sjstème par leurs trajectoires orthogonales; on a donc le théorème suivant :

Théorème. — La courbure tangentielle d'une ligne quelconque est égale à la variation de longueur dJun arc infiniment petit compris entre deux trajectoires orthogonales divisées par l'aire du rectangle correspondant.

Problème des isopérimètres. — Pour faire une application de ce théorème, proposons-nous de chercher quelle est la ligne fer-

mée la plus courte parmi celles qui entourent sur la surface un segment d'aire donnée.

Supposons le problème résolu : soit AMBC la courbe cherchée; prenons sur cette courbe un arc déterminé AMB et déformons-le infiniment peu de telle sorte que l'aire totale reste invariable. Menons d'un contour à l'autre en chaque point M une normale Mm au contour cherché ; cette normale sera une fonction de l'arc variable AM que nous désignerons par t, soit Mm— çp (*); le rectangle MM' mm' a pour aire 'z>(t)dt et l'on a, en écrivant que l'aire comprise entre les deux courbes est composée d'éléments qui se