CHAPITRE XK. - COUnBURK TANGENÎIELLB

détruisent,

(.4) jr,(o*-^

« étant la longueur de l'are AB. Ceci posé, on a d'après le théorème précédent ^

mm'-MM'= -<f(t)dt, ?

et par suite , ^

arcAmB-arcAMB= / ^(O*.

et cette intégrale doit être constamment positive ou ^J^ q„e soit la fonction o(t). Oc si nous appelons * 1 intégrale

f'o(t)dl on a en intégrant par parties

mais la partie intégrée est nulle d'après l'égalité (,«); on a donc l'équation de condition

*(0 dt^o.

Or la fonction * étant absolument arbitraire pourrait, si (-) n'était pas nul, être choisie de manière à prendre en chaque point M le signe de (i)'j tons les éléments de l'intégrale précédente seraient alors positifs et l'intégrale serait elle-même posi- ,ive ; il faut donc que (i)' soit nul et par suite que (-) soit constant, d'où le théorème suivant :

TnÉoaiHK. - La ligne la plus cour,,, parmi celles qullimi- Untsur une sur/ace une étendue faire constante, est un cercle géodésique.

Coordonnées isométriques. - Supposons que, les coordonnée étant orthogonales, les coefficients /et g soient égaux, s, 1 on donne à u 'et à , des accroissements égaux, chaque rect ng élémentaire a ses cotés adjacents égaux ; les deux famille, de lignes

coordonnées divisent la surface en carrés infiniment petits. On dit alors que ces deux lignes coordonnées sont isométriques ou encore quelles forment un système orthogonal et isotherme.

Théorème. — // existe sur toute surface une infinité de systkèmes orthogonaux et isothermes permettant de mettre le ds2

sous la forme

ds*-=\(dtf + d$*-) (').

Supposons en effet qu'on ait choisi un système quelconque de coordonnées curvilignes; la forme quadratique du ds2 peut être décomposée en deux facteurs linéaires et mise sous la forme

ds'2 = (f du -+- g cosco dv)2 -+- g2 sin2to dv2

= {f du -+- geMi dv) (/du -+• ge -«>' dv) (i2 = — j).

Chacun des facteurs, égalé à zéro, donne une famille de lignes de distance nulle et ces deux familles de lignes jouent un rôle important dans la théorie actuelle. La fonction f du + geMldv

admet un facteur d'intégrabilité qu'on peut représenter par -

ib

de sorte qu'on a, en appelant a +/'£ la fonction dont elle devient la différentielle totale,

fdu-hgeMi.dv =(«-+- ib)(dz-+- i dfi); on en déduit, en changeant i en — /,

fdu -+- ge~Mi.dv = (a — ib) (dz — i d$),

et, en multipliant membre à membre,

f2 du2 -+- %fg ces td du dv -+- £-2 dv- = ds- = ( a- ■+- b2 ) ( do.2 -+- d$2 ).

Les lignes a = const., (3 = const. divisent donc bien la surface en carrés.

On peut, d'un système de coordonnées isométriques, déduire tous les autres ; on a en efiet, (m, i') (a, |3) étant deux systèmes de cette nature,

oui \du I \dv I \dv J du dv Ou Ov

(') Liouville, toc. cit.