CHAPITRE XX. — COURBURE TANGENT1ELLE
II étant une ccrlaine fonction de u et de v. Posons
d» __ d$ o'i ,ly.
du dv du dv
de manière à vérifier klentiojuemenl la seconde équation; la première devient alors
D'où k = rh i . Nous aurons donc
On doit prendre ensemble les deux signes supérieurs ou les deux signes inférieurs; si nous adoptons la première solution, ce que nous avons le droit de faire, puisque le signe des accroissements du, dv est tout à fait arbitraire, on voit que a -+- ï(3 doit être une fonction monogène de [u + iv). On obtiendra donc les nouvelles coordonnées a, j3, en prenant la partie réelle et le coefficient de i dans une fonction monogène quelconque de la variable complexe
94. Courbure des lignes d'un réseau isométrique. — Les formules qui donnent les courbures tangentielles des lignes coordonnées deviennent, dans le cas d'un réseau isométrique (/= g),
pi
du '
on en déduit, en dérivant la première par rapport à u, la seconde par rapport à p, et ajoutant
(.5) -Ei^-Eî^o.
v ' du dv
Supposons qu'on passe du point M au point Mf {fig- 97); l'ac-
d — croissement de la courbure — a pour valeur pt du, la longueur de
Pi
du
l'arc MM, étant f du ; l'accroissement de la courbure — sera donc
De même, la courbure — de la ligne // = const. prendra, pour un arc MM2 = ds-2, l'accroissement
/ àv
Si l'on suppose ds.± = ds, l'équation ( i5) exprime que les variations de — y — sont égales et de signes contraires pour des déplacements égaux effectués sur les deux lignes coordonnées. La réciproque est vraie; remarquons en effet que, les coordonnées étant orthogonales et d'ailleurs quelconques, les courbures principales des lignes coordonnées ont pour valeurs
(iG J i àLf i i 0 Logyg'
Pi g àv p2 / du
Si l'on se déplace successivement sur l'une et l'autre des lignes v= const., u = const., d'une même quantité infiniment petite dl, on aura
pt Ou J ou ps uv g àv
Si ces deux accroissements sont égaux et de signes contraires, nous aurons l'égalité
J pj £ £î
ou, en remplaçant les courbures par leurs valeurs (16),
à- à T g j 0f i d* Log/ V i dff J <)' Log£
da y*2 dt> y^ du ôv Ov g1 Ou fg Ou Ov
