CHAPITRE \X. — COURBURE TANGENTIELLE

et, en simplifiant,

d*Log^-

du ôv

<J'où, en appelant U une fonction de u, V une fonction de V, U7 et V leurs dérivées,

I^e ds2 prend alors la forme

ds>- = À0- [ U'2 du"- -t- V'2 rfpa ] = X2 ( rfU2 -f- rfV2 ).

Les courbes l) = const. et V = const. coïncident évidemment avec les deux familles de courbes u = const., v = const.; celles-ci décomposent donc la surface en carrés et Ion a en résumé le théorème :

Théorème. — Pour qu'un réseau orthogonal soit isométrique, il faut et il suffit que deux déplacements infiniment petits égaux, effectués à partir d' un point quelconque sur les deux lignes coordonnées, donnent lieu à des accroissements égaux et de signes contraires des courbures langentielles correspondantes.

Corollaire. — Lorsque V une des deux familles de courbes cVnn réseau isométrique est composée de cercles géodésiques, il en est de même des courbes de Vautre famille, et réciproquement, deux familles de cercles géodésiques orthogonaux forment un réseau isométrique.

Lorsqu'on prend pour lignes coordonnées deux familles de cercles géodésiques orthogonaux, le ds- prend une forme particulièrement simple; la courbure tangentielle de la ligne v= const. a

en effet pour valeur — — - — : cette courbure, devant rester con- 1 /'- à»

stante en même temps que i', est une fonction de cette seule variable, on a donc, en désignant cette fonction par <V(<'),

d'où, en intégrant,

Le ds'2 a donc la forme suivante

U étant une fonction de u, et V une fonction de v.

Réseaux elliptiques. — Systèmes harmoniques, — Lorsque l'expression du ds- sera de la forme

cos-cp

nous dirons que le réseau (u, v) est elliptique ou encore que les lignes coordonnées sont des coniques géodésiques ; ces dénominations seront justifiées dans le Chapitre suivant. La formule de la courbure tangentielle devient par un tel système de coordonnées :

2 1 à / smi \ d / cosi sin 10 p d«\coscp/ dv \sin<p

si la somme ou la différence des coordonnées u, v demeure constante sur une ligne donnée, la courbure tangentielle est nulle en

chaque point de cette ligne, l'angle i étant alors égal à - rb >l.

Il existe sur toute surface une infinité de réseaux elliptiques pour qu'un pareil réseau soit isotherme, il faut et il suffit que

tang'i soit égal au rapport rr d'une fonction de u à une fonction

de v ; lorsque cette condition est remplie on dit que les coordonnées u, v forment un système harmonique et l'expression du ds3 est alors réductible à la forme suivante qu'on appelé forme de Liouville :

(20) ds* = ( U, — Vi) (du\ + dv\ ) ;

on peut en effet passer de la forme (18) à la forme (20) ou inver-