LIGNES GÉODÉSIQUES. - COURBURE GÉODÉSIQUE

Ligne la plus courte entre deux points ; équation des lignes géodésiques en coordonnées curvilignes. propriétés des lignes géodésiques. courbure géodésique;

identité de la courbure géodésique et de la courbure

TANGENTIELLE. INTÉGRATION DE l'ÉQUATION DES LIGNES

GÉODÉSIQUES. FORMULE DE LlOUVILLE. COURBES PARAL- LELES; Méthode de Jacobi.

95. Ligne la plus courte entre deux points. — On appelle ligne géodésique d'une surface une ligne dont la courbure tangentielle est nulle en chaque point et dont le plan oscillateur est, par suite, constamment normal à la surface. Les géodésiques d'un plan sont les droites de ce plan, celles d'une sphère sont les grands cercles de cette sphère, sur une surface quelconque les lignes géodésiques forment un ensemble doublement infini et jouent le même rôle, dans l'étude des figures tracées sur cette surface, que la droite dans celle des figures planes, ou le grand cercle dans la théorie des ligues sphériques. Nous avons établi géométriquement (Première Partie, § 37) que la ligne la plus courte entre deux points quelconques, sur la surface, est une ligne géodésique; nous démontrerons ici une proposition plus générale :

Théorème. — Pour qu'une ligne (L) située sur la surface, et passant par deux points A., B soit géodésique, il faut et il suffit

que la variation première de l intégrale I ds soit nulle quand

on passe de cette ligne (L) à toute autre ligne infiniment voisine, ayant les mêmes extrémités.

Prenons des coordonnées curvilignes orthogonales, en sorte