CHAPITRE XXI. — LIGNES GEODÉSIQUES. COURBURE GÉ0DÉ8IQUE. 34g

qu'on ait

ds2 = f'1 du- -t- g2 rffs, d'où

ds o ds, = fdu o(/ du) -h ^ dv o(g dv),

8 ds — ù(fdu) cosi -+- sin t §(£• dv).

Nous devons écrire que la variation de l'intégrale / ds esl nulle, ce qui nous donne, d'après l'équation précédente,

o / ds = I o d s = f [ cos i o ( f du ) -+- sin i $(g dv )] = o .

La quantité sous le signe peut s'écrire

— o« + — ov I cost a« -+■ fcosi d ou \du dv J J

(dg R <fe- \ . . . ....

-H -— ou H — or sin i dv -\- g sin j.« ot> = o.

\ o« dv J

Intégrons par parties et égalons à zéro les termes restant sous le signe / et qui contiennent en facteur ou; nous obtenons ainsi

~ cos i du — d( fcosi) -\ — — sin i dv = o, du J ' du

ou, en réduisant,

. . . ,. df ... dg , . ,

/ sin j «t cost «afi' sin i dv = o,

17 (Je c'a

ou, en remplaçant j-j y par — •is.,<2 et divisant par/,

dv du

. . .. cosi , suit . sin i di h £• «y h £■ ai> = o.

Pi p2

Mais gdv = ds sin t et on a simplement di cosi sin t

ds pi p2

Il est évident qu'on obtiendrait la même équation en égalant à o l'ensemble des termes qui, sous le signe / , contiennent en facteur oç ; or le premier membre de cette équation est égal [§ 93, formule (i3)] à la courbure tangentielle au point (u, c); le théorème est donc démontré.

Si l'on égale à zéro l'expression de la courbure tangentielle en