QUATRIÈME PARTIE

coordonnées quelconques on a, pour l'équation des lignes géodésiques, dans le cas général,

d(g-cosj) d(fcosi)

au

dv

C'est une équation ditïérentielle du second ordre; son intégrale contient deux constantes arbitraires dont on pourra disposer de manière à faire passer une ligne géodésique par deux points quelconques, ou encore par un point donné et tangentiellement à une direction donnée dans le plan tangent.

96. Propriétés des lignes géodésiques. — Prenons pour lignes coordonnées une famille quelconque de lignes géodésiques,

Fis. ioo.

v = const., et leurs trajectoires orthogonales. La courbure tangen-

tielle des lignes v = const. étant constamment nulle, on a -7 = o ; le

coefficient de / ne dépend donc que de la variable a; or nous pouvons substituer à u une fonction quelconque de cette variable, par exemple l'arc de la ligne c= const. compté à partir d'une courbe fixe située sur la surface; le ds- prend alors la forme

ds*= du*

'"■ dv*.

Considérons alors {fig> 100) un rectangle fini AB A, B» formé par quatre lignes coordonnées et soient a, b les coordonnées de A, at,bt celles de B,. On a évidemment

arc AB

= ! du = ciy — a

arc A, B,