CHAPITRE XXI. — LIGNES GÉODLSIQUES. COURHI'IIE GÉODÉSIOUE

et, comme la ligne géodésique AB est quelconque, on a le théorème suivant :

Théorème. — • Lorsqu'un segment de ligne géodésique se déplace de manière à demeurer normal aux trajectoires de ses deux extrémités, sa longueur reste constante.

Considérons en général un segment AB de ligne géodésique qui se déplace d'une manière quelconque et varie en même temps de longueur. Soient AB, A'B' (jig. 101) deux positions infiniment

Fig. ioi.

voisines; proposons-nous d'évaluer la variation de longueur A'B' — AB; pour cela considérons les trajectoires orthogonales des points A et B et soient A,B, les deux points où elles coupent la seconde position A'B' du segment géodésique mobile; on a, AB étant égal à A, B, d'après le théorème précédent,

A'B'— AB = B,B — A,A'~ — AA' cosA -+- BB' cosB.

Cette formule est identique à celle qui donne l'accroissement de longueur d'un segment rectiligne dans le plan ou d'un arc de grand cercle sur la sphère; on en déduit des conséquences analogues :

Théorème. — Lorsqu'un segment géodésique de longueur constante se déplace en restant normal à la trajectoire de V une de ses extrémités, il est en même temps normal à la trajectoire de l'autre.

Corollaire. — Si l'on mène, à partir d'un point quelconque, des lignes géodésiques de même longueur dans toutes les directions, le lieu de leurs extrémités est une courbe qui coupe à angle droit toutes ces lignes géodésiques.

3fJ2 QUATRIÈME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUR UNE SURFACE.

Remarque. — 11 importe de remarquer que le lieu géométrique des points dont la distance géodésique ;'i un point fixe est constante n'est pas un cercle géodésique, tel que nous l'avons défini. Si nous supposons en effet qu'on prenne pour lignes y— const. une famille de géodésiques, et pour u = const. leurs trajectoires orthogonales, la courbure tangentielle de la ligne géodésique — a pour valeur, d'après les formules établies précédemment, f étant ici égal à l'unité

P2 ~" g àu

Pour que cette courbure restât constante sur la ligne u = const., il faudrait qu'elle se réduisit à une fonction de la seule variable u. On aurait donc pour «' une expression de la forme UV, U étant une fonction de m,V une fonction de v\ en d'autres termes, l'expression du ds'2 serait la suivante, ds2 = du2-i- XJ2Y2dv2, qui convient, ainsi qu'on peut s'en assurer aisément, à une surface de révolution dont les méridiens seraient les lignes v = const.

On est ainsi conduit au théorème suivant :

Théorème. — Lorsqu'une sur/ace admet une famille de lignes géodésiques dont toutes les trajectoires orthogonales sont des cercles géodésiques, elle est applicable sur une surface de révolution; les cercles géodésiques considérés correspondent aux parallèles de cette surface de révolution; leurs trajectoires orthogonales sur la surface donnée passent par suite par un point fixe.

Nous verrons plus loin (§ 106) une application intéressante de ce théorème.

Développées et développantes géodésiques. — Si l'on considère toutes les lignes géodésiques tangentes à une courbe (G) leurs trajectoires orthogonales forment sur la surface une famille de courbes parallèles (Y) qu'on appelle, par analogie, les développantes de (C); inversement, celle-ci est dite la développée de chacune des courbes (T). Le théorème relatif à l'accroissement de longueur d'un segment géodésique met en évidence la propriété suivante :

Théorème. — Un arc quelconque de la développée est égal