CHAPITRE XXI. — LIGNES GÉODÉSIQUES. COURBURE GÉODÉSIQUE

à la différence des distances géodésiques de ses deux extrémités aux deux points correspondants d'uni- développante quelconque.

Si l'on imagine un fil parfaitement flexible, tendu entre deux points d'une surface et soumis uniquement à la réaction normale de cette surface, cette réaction doit s'exercer dans la direction opposée à celle du rayon de courbure de la courbe d'équilibre du fil; cette courbe d'équilibre est donc une ligne géodésique. On voit qu'on peut alors donner, pour une surface quelconque, un procédé mécanique de description des développantes, identique à celui qui permet de décrire, à l'aide d'un fil tendu sur la surface, les développantes d'une courbe plane ou sphérique.

1)7. Courbure géodésique. — Si l'on mène les deux tangentes géodésiques aux extrémités M, M' d'un arc infiniment petit d'une courbe quelconque C, tracée sur la surface {Jig- 102), ces deux tangentes

Fie. 102.

se coupent en un point M , infiniment voisin de M et de M'; l'angle s sous lequel elles se coupent prend le nom de courbure géodésique

totale de l'arc MM'; le rapport '-— —, est la courbure géodésique

1 ' aie JM.M & '

moyenne et sa limite, quand M' se rapproche indéfiniment de M,

est, par définition, la courbure géodésique au point M; on donne

aussi à l'angle z le nova A angle de contingence géodésique.

Pour évaluer la courbure géodésique au point M, considérons

les trois lignes géodésiqnes v = const. qui passent en M, en M' et

en Mi ; soient /, i\ les inclinaisons de la courbe (C) sur les deux

premières, i\ et «', -f- z les angles que fait la troisième avec les deux

lignes géodésiques MM,, M, M'. Appliquons l'équation (1) à chacune de ces deux lignes géodésiques; les courbures tangen-

ticlles — > —des lignes coordonnées étant des quanlités finies, nous

Pi P2

avons le droit de leur attribuer les mêmes valeurs aux points infiniment voisins M, M', M|.

Posons alors, pour une ligne quelconque,

ds cos i = ofx, ds sin i = dfi;

il vient, aux infiniment petits du second ordre près, pour la première ligne géodésique MM,,

a, -a p,-ft l, — l H h = O

et, pour la seconde,

. a'- a, p'-p, ï-tt-EH 1- ' — = o

Pi P2

ou, en ajoutant et divisant par ds,

e di cosi sin?'

6^A' ds pi p2

Or le second membre est égal à la courbure tangentielle [§93, formule (i3)], d'où le théorème suivant :

Théorème. — La courbure géodésique est identique à la courbure tangentielle.

Nous conserverons dorénavant, pour désigner cette courbure, le nom de courbure géodésique qui lui a été donné par Liou ville.

98. Intégration de l'équation des lignes géodésiques. — L'équation différentielle ( i ) est du second ordre; on peut, dans certains cas, en obtenir une intégrale première et ramener la recherche des lignes géodésiques à l'intégration dune équation du premier ordre. Considérons seulement le cas où les coordonnées sont isométriques, c'est-à-dire où le ds2 est de la forme

ds'1 =./2 ( du- -+- dv"1).

On a alors

ds cosi =fdu, ds sin* — f d\\

i i df

p, f* Ou