CHAPITRE XXI. — LIUNES GÉ0DÉSIQUE9. COURBURE GÉODÉSIQUE. 3")r

et l'équation ( i ) prend la forme

di = -y ( — du ■— dp )

t \0v du )

ou

,.,. .dud2v — dvd1u df . df .

( o ) / — — = — du di

•' dut + dv* \<Jv <m

Introduisons une variable t, telle qu'on ait

du--\- dv2 — f2 dt2,

et cherchons à exprimer n et r en fonction de t. On est ainsi amené à déterminer u et v eu fonction dune même variable t à l'aide des deux équations

du d2 v dv d2 u df du df dv

~dt ~d~F ~ ~dî ~d~F ~*~dû~dl ~~ ' dv dt ' du d- u dv di v df du df dv

~dt dt2 ~^ dt ~dF ~~* dû ~dt * ~dv dt'

qui, résolues par rapport a -rr>— t-, > se réduisent a

/ f - d1 u df d2 v df

Uj ~d~F~''~dli' ~dF~J7v"

On aura donc l'équation des lignes géodésiques en intégrant les équations (4) puis en éliminant t entre les deux équations obtenues. On peut donner de ce théorème une démonstration plus élégante mais fondée sur des considérations de dynamique (voir Liouville, Application de r analyse à la Géométrie de Monge, Note III).

Cas où le système de coordonnées est harmonique. — Lorsque les lignes coordonnées, supposées orthogonales et isothermes, forment un système harmonique, ou système de Liouville, le coefficient f1 est réductible à la forme U — V, U étant une fonction de u, V une fonction de v\ les lignes coordonnées sont des coniques géodésiques (p. 346); on alors

i d*-(f2) df df d"-f

•> <)ii no iin rti> u

:>. Ou dv du dv J du <)v

On obtient, dans ce cas, immédiatement une intégrale première de l'équation des lignes géodésiques; les équations (4) deviennent

356 QVATBIÈME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUIl UNE SURFACE.

en effet

dlu T1, dlv r,

2 ~~dF ~ ' l ~d~F ~

dt membres de la seconde par —r- et qu'on intègre, on a, en appelant /i,

Si l'on multiplie les deux membres de la première par— , les deux

dv dt

k des constantes arbitraires

§),= u-". (aV.

(domine on doit avoir

rf« \ 2 / <r/t> \ 2 in

les deux constantes /> et k doivent être égales ; on a donc, pour l'intégrale cherchée,

du dv

= dt.

Si nous remplaçons du, dv par les quantités proportionnelles cosi, sin«, cette équation prend la forme simple (Liouville, loc.

cit.)

(6) Vcos2i-t- U sin2i = h.

Applications. — i° Surfaces de révolution. — Considérons comme première application, la surface de révolution définie par les équations

x=ucosv, y = us\nv, z = <b(u).

Les lignes v = const. étant les méridiens, les lignes u = const. les parallèles, on a ici

( 7 ) ds- = du- ( i — 'V2 ) -+- m* dv-

ou

ds" = u"- ( '■ — dul-r- dv1 )

Si l'on faille changement de variables

(tll

/ i -t- 'V2 — = dv., dv = d$, u- = F| -x ) ,