CHAPITRE XXI. — LIGNES GÉODÉSIQUES. COURBURE GEODE8IQUE

les Lignes coordonnés sont encore les méridiens et les parallèles, et

le ds- devient

ds*- = F(a)(dx*-+d<^).

Les méridiens et les parallèles forment un système orthogonal et isotherme et, de plus, le ds2 a bien la forme de Lioaville. L'intégrale première (6) des lignes géodésiques est donc

F(a) sin*i = /<,

ou, en revenant aux variables u, c,

u si n i = const., d'où le théorème suivant :

Théorkme. — Si Von multiplie en chaque point d'une ligne géodésique le rayon du parallèle par le sinus de V angle sous lequel cette ligne géodésique coupe le méridien, le produit a une valeur constante (Clairaut).

2° Ilélicoïde. — Cherchons encore les lignes géodésiques de 1 hélicoïde gauche défini par les équations

;r = mcosc, y = us'irn>, z = kv,

et pour lequel on a

ds'- = du- -+- ( u"- + A2 ) dv* = ( m» -+- k* ) ( /"" -+- dv9- \ ,

ce qui se réduit à

rfs2 = F(a)(da*-+-d$*),

en posant

= du, dv = d';i, u- -4- k- — F ( x ).

On a donc ici, pour l'intégrale des lignes géodésiques, (8) y/^2-f- A2 sin t = const.

Les lignes v= const. sont les génératrices de l'hélicoïde.

Remarque. — Comparons le ds- de la surface de révolution

générale

ds*-= rf«2(n-<V2) -+- h2 dvK

à celui de l'hélicoïde réglé

ds\ = du] -+- ( u] -+- A2) dv\.

Si nous établissons entre les deux surfaces la correspondance point par point définie par les deux relations c, = r, u" -+- h- = u-, le ds2 de l'hélicoïde prend la forme

«v- = — — du1 -f-a- ar-,

et cette expression sera identiqne sur les deux surfaces si l'on choisit la fonction <l de telle sorte qu'on ait

En d'autres termes, l'hélicoïde gauche est applicable sur la surface de révolution dont le méridien satisfait à l'équation

4» (a) =-==== ou <i — .%=£Log y—

'l0 étant une constante

L'équation du méridien dans le plan des z-x est donc

c'est une chaînette ayant pour base l'axe de révolution. On a donné le nom cVa/ysséide à la surface de révolution engendrée par une chaînette tournant autour de sa base et le résultat précédent peut s'énoncer ainsi :

Théorème. — L'hélicoïde gauche peut être appliqué sur une alysséide, de telle sorte que ses génératrices rectilignes se transforment dans les méridiens de cette alysséide.

Théorème de Bour. — Considérons, au lieu de l'hélicoïde réglé, l'hélicoïde général défini parles équations

j = hcosc, y=us\nv, zz=o(u)-hkv

pour lequel on a, en mettant en évidence les trajectoires orthogonales des lignes u = const.,