CHAPITRE XXI. — LIGNES GÉODÉSIQUES. COURBURE GÉODÉSIQUE. 35y

d'où, en posant

(9) w*-t-A:2=a?, dv h / ■ du — c/t'i, <l/("i) = 4/ ç'^")^ — r>

ils- — \\ -\- 'l'-( ut ) | du\ -+■ u- dv\ ;

les lignes r, = const. sont donc géodésiques et s'obtiennent par une quadrature; Vhélicoïde général est applicable sur une surface de révolution dont le méridien est déterminé par la l'onction o (Théorème de Bour).

On voit de plus que L'équation des lignes géodésiques est

(10) ( u2-+- Ar*)*sinsi = const.

C'est une généralisation intéressante de l'équation de Clairaut.

3° Comme dernière application, supposons les points d'un plan déterminés par leurs distances p{, p2, à des foyers fixes F,, F2 (coordonnées bipolaires).

Prenons pour axe des x la droite F2 Ft , pour axe des y la perpendiculaire élevée au milieu de cette droite et soit ic la distance des deux foyers, en sorte qu'on ait les deux équations

pf— p}= 4car, p| 4- pi = a(.r2-t-j2-f-c2).

Le système de coordonnées uel y délîni par les relations

(' — U = pi, V -+- Il = p2

est orthogonal et isotherme et, déplus, harmonique. Ona, en effet, les deux formules de transformation

et l'on en déduit aisément

, „ , , , . „ . / dv2 du- \

ds2 = dx* -h dy% = ( p- — as ) ( -= z ■+■ -= ; ■

Si donc on pose :

— /V£=' p-/- * = . PÎ=FW, ..-F,<«,

on a bien

ds*-= [F(oc)— Fi($)](d%*-hd$*).

36o QUATRIÈME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUH UNE SURFACE.

L'intégrale première des lignes géodésiques sera donc

ou, en revenant aux coordonnées u, c,

du dv

/( c2 — u'l)(h — f/2 ) vA <'2 — c~ M l'~ — l{ j

C'est l'équation d'Euler relative au théorème d'addition des fonctions elliptiques ; ce qui précède permet d'en obtenir immédiatement l'intégrale sous forme algébrique. En effet, les lignes géodésiques du plan, étant des droites, sont représentées par une équation linéaire entre x et r; l'intégrale est donc de la forme

y(v- — c'1) (c- — u- ) = muv -f- a.

11 suffit d'établir entre les constantes m et n une relation telle que l'équation (18) soit identiquement vérifiée.

99. Familles de courbes parallèles. Coniques géodésiques. — Les trajectoires orthogonales dune famille de géodésiques forment une famille de courbes géodésiquement équidistantes ou parallèles. On peut étendre du plan à une surface quelconque la théorie des coordonnées bipolaires et des coordonnées elliptiques; prenons, en etfet, pour coordonnées d'un point quelconque, les distances géodésiques u et v de ce point à deux points fixes de la surface ou, plus généralement, à deux courbes fixes; les trajectoires orthogonales des courbes c = const. ont pour courbure

. ., à ( îr sin m ) , ,, . i , . •! r

tan<rentielle — '■ : pour qu'elles soient géodésiques, il iaut

que g sin to soit une fonction de la seule variable?; de même

/'sin 10 ne doit dépendre que de u ; le ds- peut donc se mettre sous

la forme

7 du- -+- i du dv cos w -+- dv- ( du -+- dv )- ( du — dv )-

(u) ds'2 — — = 1 — >

sin- tu , . , (o , fa)

4 s i n - — 4 cos- —

qui ne diffère pas de celle que nous avons donnée dans le cas d'un réseau elliptique [p. 34<J, formule (iS)]; les courbes lieux de points dont les distances géodésiques à deux courbes fixes ont une