CHAPITRE XXI. — LIGNES (iKODÉSIQUES. COURBURE GÉODÉSIQUE

somme ou une différence constante, forment un double système orthogonal analogue à celui que forme, dans le plan, un système d'ellipses et d'hyperboles liomofocales, et il est naturel de leur donner les noms d'ellipses et à1 hyperboles géodésiques ; parmi

les propriétés «les coniques planes, celles qui résultent du théorème relatif à la variation de longueur d'un segment rectiligne appartiennent évidemment, sur toute surface, aux courbes ainsi définies.

Remarque. — D'après la formule (n), toute surface qui admet deux familles de géodésiques se coupant sous un angle constant est applicable sur un plan (Liouville). Si, en elTet, on appelle u> le supplément de cet angle constant, il suffît de poser u = x sin to, V = j^sinto pour retrouver la forme du ds'1 du plan, en coordonnées rectilignes obliques.

Détermination des géodésiques. Méthode de Jacobi. — Soit z> (u , c) = G l'équation d'une famille de courbes parallèles, o(«, v)=.Q celle de leurs trajectoires orthogonales, en sorte qu'on ait

ds- =f- du- -+- if g cos ta du dv -+- g"- dv'1

. du ^ -dv) -i- G- ( -~ du -r- -ri dv

au dv / \ ou dv

\ou

En écrivant que ds'1 — do'1 est le carré dune fonction linéaire de du et dv, on a l'équation aux dérivées partielles

(.,) f-^-j -2/,cos(,-- + ^^j = /^SUWO.

Supposons qu'on ait trouvé une solution es (w, e, a) de cette équation, contenant une constante arbitraire a, non additive. Substituons-la clans l'équation (12) et dérivons par rapport à a

dç l'identité ainsi obtenue, nous aurons, en posant G = —

1 da

-0da dO , /<fcp r)0 do ()0\ dep d6

t'1 — nfsr cos w — ! 1 - — -f- g* — = o,

•' dv dv J° \du dv Ov du) * du du

ce qui exprime que les deux familles de courbes cp=const., 0 = const. forment un réseau orthogonal ; d'où le théorème suivant :

Théorème. — Quand on connaît une solution de V équation (12) contenant implicitement un paramètre arbitraire, il suffit d'égaler à une constante arbitraire la dérivée de celte fonction par rapport au. paramètre, pour avoir, en termes finis, V équation générale des lignes géodésiques.

Si, par exemple, les coordonnées forment un système harmonique, en sorte qu'on ait f2 = g2 = L — V, l'équation (12) prend la forme

(S)X£)'-"'-vi

on peut la vérifier en posant

cp = / d[] — a du — / J a — V dv,

d'où se déduit immédiatement l'équation (6) de Liouville [Pour une étude plus complète de la méthode de Ja.cohi, cf. Darboux (Leçons sur la théorie des surfaces, t. II. Livre V, Chap. IV etV)].