PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. - COURBURE TOTALE

Formules de réduction a l'origine (coordonnées orthogonales). — Courbure géodésique des systèmes orthogonaux, formule de Lamé. — Théorèmes de Gauss; courbure totale; surfaces applicables sur un plan. — Courbure totale d'une aire polygonale. — Expressions diverses DE LA COURBURE TOTALE EN COORDONNÉES CURVI- LIGNES.

100. Coordonnées orthogonales; formules de réduction. — Afin de pouvoir interpréter géométriquement les résultats de l'analyse, et conformément à la méthode que nous avons suivie dans l'étude des courbes à double courbure, des surfaces réglées, etc., nous supposerons qu'on prenne pour origine un point M quelconque de la surface, pour axe des z la normale à la surface en ce point, pour axe des x et des y les tangentes aux lignes coordonnées i> = const. u = const. qui se coupent au point M. Les coordonnées cartésiennes et leurs dérivées partielles des divers ordres par rapport à u, v prendront alors des valeurs réduites, ayant une signification géométrique, et qu'on ne devra introduire dans les formules obtenues qu: après avoir effectué toutes les dérivations. Nous calculerons ces valeurs réduites en nous limitant aux dérivées des trois premiers ordres; dans les formules ainsi obtenues nous représenterons par les mêmes symboles les fonctions ellesmêmes et les valeurs qu'elles prennent à l'origine, et nous n'introduirons, pour distinguer ces dernières valeurs, aucune notation spéciale, afin de ne pas compliquer l'écriture; un peu d'attention suffira pour éviter toute confusion. On a d'abord les formules

dx ùy dz dz

dv du du dv

Ou /

(àys

dy ^ dv

Les relations

nous donnent en outre

Ceci posé, dérivons d'abord l'équation qui donne la valeur générale de/2 par rapport à m, puis par rapport à e, et introduisons les

valeurs réduites de -t— > —> •••: il vient ou Ov

fà*x __ ,<y d2.r , y

■ <*w8 ' du ' •' dadp ^ dt>' d'où

')8.r <j>/ d-'.T d/ fg

Ou'1 Ou Ou Ov ov p,

Si nous opérons de même sur la formule qui définit g-, nous

obtenons

Oy 0-y dg Oy 0-y dg

Ou Ou Ov Ou Ov dv% Ov

d2 y dg fg d2 y dg

Ov- dv

d^y 02x Pour obtenir—— et -—> il suffit de dériver par rapport à u, puis ou* Ov'2 r l r l

par rapport à c, la relation d'orthogonalité

dx àx Oy Oy Oz as

On trouve ainsi

Ou Ov Ou Ov Ou Ov

02x ,Td*'y fa%x à* y

du Ov " Ou2 • Ov- ' du ov

et, en tenant compte des formules déjà obtenues,

dw2 p! de8 ps

Nous connaissons ainsi les dérivées du second ordre de x et de y. Considérons maintenant la troisième coordonnée z. De la formule

dz = /> dx ■+■ q dy,

on tire d'abord les deux suivantes

Oz O.r dy Oz Ox dy

t*f/ d« 7 d// de ' dp 1 Ov

! Ox Oy

\ OU Ou

ou-

1 dx à y

\ Ov Ov

Ou dv

/ o.r Oy V ôv "^ ôv