CHAPITRE XXII. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. COURBURE TOTALE. 3G

I V'ii\ uns chacune d'elles par rapport à //, puis par rapportât, en tenant compte toujours «les formules de réduction déjà obtenues ; nous avons ainsi, en remarquant que p et q sont nuls,

dx / Ox \ - .

dû ~ ' \ôû) " J'1 '

Ou ~7*^'

ày

lui résumé, les valeurs réduites des dérivées du premier et du second ordre sont contenues dans le tableau suivant :

àg

ôô'

OuOv "/0"', dv'2 h '

Dérivées du troisième ordre. — Prenons d'abord les deux formules générales

.df dx ô-x ày à2 y Oz d2 z Ou du Ou'1 ~T' Ou Ou- Ou Ou1 ' Of Ox 02x Oy 0- y Oz 0-z

Ou h

à*x àf

Ou- du

Tu = °'

ov ~*'

Ou- pi '

àz

ôô ~°'

— = °) Ov

au dv

■lE, pi '

à-x dv'2

pî '

dv2

fgs,

d2z dv*

dv du du dv du du dv du du dz

Dérivons chacune d'elles par rapporta u, puis par rapport à p, et réduisons; nous avons ainsi, en représentant par S la somme des résultats d'une opération symétrique effectuée sur les trois coordonnées x, y, s,

fdfy ,.d2f fd»x „/à*xy ,okt /ofy 1 1 \

(ôô) ^Jôô2=SôT-hb(ôô;) =^ôu-^(ô7c) ^f\Jî^r)^

df àf . d2 f d3 x c / O2 x à2x

du Ov du dv du2 dv \ du2 du Ov

= f^L^Ù! dJ-->rf*g

Ou2dv du dv ' \p1P2

0 j'y f°",f dx 0:i x , 0 / 02x

J tint An

dv I dv2 du du Ov2 \0udv

03x /àf\*

■foVoV2 + (ôv) ^'^Vil"^

( opérant de même sur les deux formules

dg dx d-x dy d- y dz d1 z du dv du dv dv du dv dv du dv

dg dx d1 x dy d1 y dz d2 z S ~Tv — ~d~v dv* ~dv "dv2 dv ~dv2 '

nous obtenons les trois équations réduites

àg\- „d2g dy o3 y ( d2x

du] c du'2 dv du2dv \du dv

à* y fàg\*

du2dv \d

dg dg d2 g dy d3 y | c fd2x d2 x ^

du dv ' ° dudv dv dudv2 ' ~ \ dv2 du dv J

*y ^dgdg /

du dv2 du dv \

(dg\*,#g dy à\y /d2x\2 \dv / ê dv2 dv dv* \ dv2 J

dv* "^ \àv ) S \pjj

Nous résumerons ces résultats dans le Tableau suivant

1 du* Ou2 J \pl r j dv* dv2 g Vp| "*" /'

\du2dv dudv '* \p1p2 / dudv2 dudv * " \pips

'dir^2 = d^ -fg'^^s)' d^Tv = i^ --Mpi /;

Remarquons que ce Tableau est incomplet puisqu'il y manque

les valeurs réduites des dérivées -— , -~~ et celles des dérivées du

dv3 du3

troisième ordre de z; on comblerait aisément la première lacune en

opérant comme nous venons de le faire sur la condition d'ortho-

(ôor ôjc \ — —J =0: quant aux dérivées de z, on les obtiendrait

en différenciant les relations générales qui donnent /•, s et /. Nous nous dispenserons de faire ces calculs, les Tableaux [I] et [11] étant suffisants pour les applications que nous aurons à faire.