CHAPITRE XXII. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. COURBURE TOTALE

101. Théorèmes de Gauss. Formule de Lamé. — Toule propriété géodésique qui ne dépendra que des infiniment petits du premier et du second ordre pourra être obtenue en dérivant une fois ou deux fois, par rapport aux variables u, v, les relations (jui définissent/ et g et la condition d'ortliogonalité, puis appliquant les formules de réduction [I] et [II]. Il est évident d'ailleurs que toute relation obtenue de cette manière sera absolument générale, quoique déduite des équations réduites, pourvu, toutefois, qu'il n'y figure que des éléments purement géométriques. Si, par exemple, nous dérivons deux fois de suite, par rapport à u, puis par rapporta t\

la relation

dx dx dy dv dz dz

— °i du dv du di> du dv

nous aurons

[" dx à:i x \ du du Ov-

dx d3x dix d-x / d'1 x

ùv àu%dv du'- dv- \du dv et, en faisant usage des formules réduites (Tableau [I]),

J àudv* diûdv p.y du pt dv J ' J \?ï P2

Mais on déduit, des deux dernières formules du Tableau [II],

, d*x d*y rdU> ( i\ à* g ,,,/,, 1

J àudv1 ° du*dv J dv'- ° J \ pf/ ° du- \ pf

J dv- du- \ pi pf/

d'où, en substituant,

v ' J dv- die1 pi dv p2 du J

Or (s- — rt) représente, en formules réduites, le produit changé de signe des courbures principales de la surface au point M ; l'équation précédente met en évidence ce fait que ne dépend que

des éléments géodésiques, et, par suite, reste invariable quand on transforme la surface en une autre sur laquelle elle est applicable et l'on est ainsi conduit au théorème suivant (Gauss, Disquisitiones, § XII) :

Théorème. — Lorsque deux surfaces sont applicables V une sur Vautre, le produit des courbures principales a des valeurs égales su/- les deux surfaces en deux points correspondants quelconques.

Formule de Lamé. — Remplaçons dans l'équation (i) — , —

r ' v ' Ov ou

/V fff par — "t-s., '—; nous avons

Pi Pa

<Pf à(lS f <!K dll = f± (K\ K El'

OV' ' OV \pi / pt OV OU- OU \p2/ p2 ^U

d'où

• ov- p, ov J° OV [.pi/' ou- p2 ou J° Ou \p2

et la formule précédente peut s'écrire

Ri R2 ov \ pj / ou

Cette relation, qui est générale bien qu'obtenue à l'aide des formules réduites, peut être mise sous une autre forme. Considérons en général une fonction quelconque de u et de v\ soit H (m, e) cette fonction, dH l'accroissement qu'elle acquiert lorsque le point (m, v) subit un déplacement infiniment petit dsi faisant un angle i avec la ligne v = const.; nous avons appelé (p. 255) le rapport -7— la dérivée de H, prise dans la direction i. D'après cette définition, on aura

dH , OH , / i oH .i dH

dH = — du H dv =

ou Ov

—.. — cosi H sin i I ds,-,

J Ou g OV }

d'où

dH i OH . i OH . .

-j— = — . — • cosi — si ni,

ast j Ou g Ov

ce qui peut encore s écrire

/^ da

dH . dH . .

rfH

i OH

dl\ i dH

—. — cost-i- — — suit.

«5l «So

/ ou

dso g Ov

dH dH , . . , . , . , .... , -

-r— > -7— étant les dérivées prises dans les directions zéro et -•

(tSi ds-j l ■>

Appliquons ces formules aux courbures géodésiques des lignes