CHAPITRE XXH. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. COURBURE TOTALE

coordonnées: nous avons, en remarquant que les règles du calcul des dérivées s'appliquent sans modification à ce genre de dérivation géométrie |iic,

à (f\ J df ( dJt ) __ fg %

dv \pj p, dv J \ dv J ~ p\ J* ds2 '

à i £\ J ^£ „Pj f£ f„ P 2, du\pij p2 ou ou p| ds\

La relation (2) peut donc s'écrire, en divisant tous les termes

rf-1

dsi

<Ys2 p-f pj

dsi ds% PÏ' * P» R; ^2

C'est la formule de Lamé; on peut lui donner une autre forme.

Désignons par D„ ( — j la dérivée de (— ) prise suivant la normale intérieure à la courbe t> = const., c'est-à-dire dans la direction -1 et par Dn (— )> la dérivée de — prise de même dans la 2 l \p%J p2 l

direction -; nous avons alors, d'après la formule (3),

\Pl/ «.S-2 \P2/ «*1

et l'équation (4) peut s'écrire

\pi/ \pi/ pï pi Ri Rs

IG'â. Courbure totale. — Considérons une portion de surface limitée par un contour fermé (C); soit S son aire; si, par le centre d'une sphère de rayon 1, nous menons des parallèles aux normales de la surface le long du contour (C), nous aurons sur la sphère un contour fermé (c) entourant une portion d'aire n à l'intérieur de laquelle seront compris tous les points qui représenteraient sphériquement les points de la surface contenus à l'intérieur de la courbe (C). L'aire n est, par définition, la courbure totale du segment de surface limité par le contour (C); lorsque le contour (C) diminue indéfiniment en entourant un point fixe M de la surface, le D. 24

3~o QUATRIÈME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SIR UNE SURFACE.

rapport — tend vers une limite qu'on appelle la courbure totale

au point M. Celte définition de la courbure totale est due à Gauss, qui en a donné l'expression générale en fonction des coefficients du ds-.

Pour arriver à cette expression, nous démontrerons le théorème suivant ( Gauss, Disquisitiones) :

Théorème. — La courbure totale en un point quelconque est égale au produit des courbures principales et reste par suite invariable quand on transforme la surface en une autre sur laquelle elle est applicable.

Supposons, en effet, la surface rapportée à ses lignes de cour-

bure; le segment limité par la ligne (C) sera divisé en rectangles infiniment petits MM4M'M2 et l'aire S sera égale à l'intégrale

double / / MM1M/M2=2. Or, si nous effectuons la représentation sphérique des lignes de courbure, nous diviserons l'aire ien rectangles infiniment petits tnm'm2iH\ et nous savons que mmt sera parallèle à MM,, mm2 à MM2. On aura donc

mm i X ni m.

or, les arcs mm{, MM2 sont proportionnels à leurs projections sur une droite quelconque, par exemple sur Ox. Si l'on appelle A le cosinus de l'angle que fait avec Ox la normale au point M, on aura par suite

mmx MÂT,