CHAPITRE XXII. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. COURBURE TOTALE
et de même
m ni •> d, X
en désignant par les indices (i) et (2) les déplacements effectués suivant la première ou la seconde ligne de courbure. On aura donc
MM, x MMj ( -r- ) ( ~- ) = mml x mm*.
Or, d'après le théorème de Piodrigues,
On en déduit
ce qui démontre
Théorème. — Toute surface applicable sur un plan est l'enveloppe d'un plan mobile à un paramètre.
Si, en effet, une surface S est applicable sur un plan, comme la courbure totale est nulle en tous les points de celui-ci, le produit des courbures principales sera nul en tous les points de cette surface S. Or, on a, comme on sait, sur une surface quelconque,
1 rt — s2
dx X 1
~d^r ~~~ RT
= — ÏÏT
di
dï
\ théorème.
(troisième partie, § 70); l'équation aux dérivées partielles des surfaces applicables sur un plan est donc rt — s-=o et nous avons vu que son intégrale générale est donnée par l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation dépend d'un paramètre unique.
Courbure totale d'une aire polygonale. — Considérons sur la surface un point O et une ligne (L) sur laquelle un point A soit pris pour origine des arcs (fig. io4). Un point quelconque M est déterminé par sa distance géodésique au point O et par l'angle ce que fait la géodésique OM avec la géodésique OA. Prenons pour lignes coordonnées, les géodésiques issues du point O et leurs trajectoires orthogonales; la formule (2) et celle qui donne la courbure géodésique d'une ligne quelconque se réduisent pour
Ri R2
ds
di
ds si n i
di
àg
au
dv.
La première exprime que l'élément d'aire g du dv a pour cour-
hure totale -r-^- du dv: soient alors M, M' deux points infiniment du* r
voisins de (L); on a, pour la courbure totale c/£ du secteur
