CHAPITRE XXII. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. COURBURE TOTALE

Si l'on intègre cette formule depuis le point A jusqu'au point B, on a, pour la courbure totale du triangle curviligne fini OAB,

Jk p

\ P /\ /\ /\ O, A, B étant les angles intérieurs de ce triangle. Pour en déduire

la valeur sphérique d'une aire limitée par un contour polygonal

curviligne, fermé et convexe, il suffit de joindre par des lignes

géodésiques les sommets de ce contour à un point intérieur et de

faire la somme des courbures totales de ces secteurs partiels; on

est ainsi conduit au théorème suivant :

Théorème. — La courbure totale d' un segment de sur/ace

limité par un contour polygonal convexe est égale à la somme

des angles intérieurs du contour diminuée d'autant de fois

deux droits qu'il y a de côtés moins deux et de V intégrale

I — étendue à tout le périmètre de ce contour [O. Bonnet,

Mémoire sur la théorie générale des surfaces [Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XIX, p. 1 3 1 )] .

Lorsque le contour est formé de lignes géodésiques, l'intégrale

ds

est nulle et la courbure totale est donnée par la même

règle que l'aire d'un polygone sphérique. Ce beau théorème est dû à Gauss (Disquisitiones, § 20); la proposition plus générale d'O. Bonnet s'en déduit immédiatement, en remplaçant le contour donné par un polygone géodésique circonscrit d'un nombre infini de côtés.

103. Expressions diverses de la courbure totale. — i" Coordon-

f nées orthogonales. — Si dans la formule (2) nous remplaçons —

g 1 1 \ èf \ dt? n , et — par leurs valeurs —■> -. — elle devient

Pi S c>v S du

m f9 à (idf\ ^/Lç>£\

RtR2 dv \g dv) du \f du/'

Considérons, comme application, la surface de révolution définie par les équations

x=ucosv, y = usinv, z = <|;(k), ds*= (n- 'ty'*)du*-{- u* dv*, /= y/n- *J/2, g =u.

3j4 QUATRIÈME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUR UNE SURFACE.

La formule ( *j) nous donne pour la courbure totale i i i df i d ( i

Ri R2 u f3 du ±u du \/'2

Proposons-nous, par exemple, de déterminer le méridien de

telle sorte que la courbure totale soit constante et égale à—; i ° a2

l'équation précédente donne alors

a- d ( — ] -~ iu du = o,

d'où, en appelant b2 une constante arbitraire,

62 — iS-

C'est l'équation différentielle du méridien; considérons en particulier le cas où les méridiens concourent en un point non singulier de la surface; lorsque le rayon du parallèle s'évanouit, il faut que la tangente au méridien devienne perpendiculaire à l'axe, donc 'Y (u) doit s'annuler pour u = o; on doit donc prendre b2 égal à a2 ; et l'équation (9) devient

dz 1

d'où, en intégrant,

Le méridien est donc un cercle avant son centre sur l'axe; la sphère est donc la seule surface de révolution à courbure constante pour laquelle les points situés sur V axe soient des points réguliers.

On voit qu'une surface de révolution à courbure constante positive coupera toujours son axe en un ou plusieurs points singuliers. Si l'on donne à la constante b'2 d'autres valeurs, on aura une suite de surfaces pour lesquelles les parallèles de rayon nul seront des points coniques réels ou imaginaires {Cf. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. I, £ 72).

Si la courbure totale doit être constante et négative, l'équation différentielle du méridien s'obtient en changeant le signe de a-