CHAPITRE XXII. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. COIRRURE TOTALE

dans l'équation (<> ) < | n i devient

'dz\* u^—cû—b1

lu / //- — 11-

On petit déterminer ici la constante b de telle sorte que le méridien soit asymptote à l'axe, c'est-à-dire de telle sorte

que -j- soit infini pour u = o, ce qui donne &= o, el nous avons

alors pour l'équation du méridien

/ / ; du

az = va- — u2 — • u

Il est aisé d'en avoir la définition géométrique. Si, en effet, nous appelons 0 l'angle que fait l'axe avec la tangente au méridien, nous

avons —r = tan g; 9 et l'équation précédente devient

K2 = (a2 — m2) tanç28, u2(i -+- cot2ô) = a2, -T—- = a.

si il 0

Mais -r—r est évidemment égal au segment de tangente compris

sin 0 do d i

entre l'axe et le point de contact; le méridien est donc la tractrice de paramètre a qui a pour asymptote V axe de révolution. Cette surface remarquable a reçu le nom de pseudo-sphère, ou de surface pseudo-sphérique. C'est la plus simple de toutes les surfaces à courbure constante négative.

2° Coordonnées isométriques. — La formule (8), dans le cas où f= g, devient

p <,2Log/ , d'Log/

H, H, ou"- dv*

(Liouville, Analyse appliquée ci la Géométrie de Monge, Note II).

Cette élégante formule prend une forme plus réduite si l'on fait

le changement de variables

u -+- iv = a, u — iv = Jî,

ce qui revient à rapporter la surface à ses lignes de distance nulle. On a, en elfet, en désignant par H une fonction quelconque de u et de v,

<nH ^11 <p\\ t>2 II <fi\\ ^H d2H >PH

~ôvîl ~~ 0%"- ~ ' Or O'p ' ~d$* ' ov* " " da2 " Or d$ 0$*- '

d'où

du'1 dv* d*d$

Si nous appliquons cette formule de transformation à la fonction f, l'équation (9) prend la forme

i 4 à'- Log/

{U) R, R, /* «Ja«^

due, comme la précédente, à Liouville (loc. cit.).

3° Coordonnées obliques. — L'expression développée du produit > dans le cas général, telle qu'elle a été donnée par

Gauss (Disquisitiones, § 11) est assez compliquée ; on peut, en procédant comme il suit, la mettre sous une forme plus condensée (Liouville, Journ. de Math., Ie série, t. XVI, p. i.îo). Calculons la courbure totale du parallélogramme élémentaire M M, M' M, formé par deux couples de lignes coordonnées infiniment voisines; les angles intérieurs M, M' de ce parallélogramme sont, en conservant nos notations habituelles,

doi dto , 1 ( d- o) à'1 iû d'1 ta .

o) et 10 -\ — — du h — — dv ■+■ —. — - du1 -r- 1 — - — - du dv h dv

du dv 1 \ ou- ou dv dv-

les angles intérieurs M, et M-, ont de même pour valeur

dm , 1 à'1 10 dit) , 1 rf2w ,

77 — w du du'1 et t. — co — dv dv-.

du 2 du1 dv -j. dv'1

L'excès de la somme de ces quatre angles sur 27: est donc dudv.

dudi

Quant à l'intégrale / —, elle doit être réduite à son premier

élément pour chacun des côtés MM,, M, M', M.' Mi, MeM; on à donc à faire la somme des quatre angles de contingence correspondants qui sont, en tenant compte du sens dans lequel chaque côté est parcouru,

£- du, £■ dv -t- 4- ( — ) du dv, — Ldu— — (£-\ du dv, — £ dv.

pi p2 du\pî/ pi dv \pi / p8

La courbure totale est d'ailleurs un infiniment petit du second