CHAPITRE XXII. — PROPRIETES GENERALES. COURBURE TOTALE

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C'est la formule de Liouville; si l'on tient compte des formules qui

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l'équation (12) devient

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104. Surfaces admettant deux familles de courbes parallèles composées de cercles géodésiques. — Nous pouvons maintenant compléter le théorème énoncé à la fin du paragraphe 96.

Fie. io5.

En effet, un parallèle d'une surface de révolution est évidemment une ligne le long de laquelle la courbure totale reste constante. Si donc une surface S admet une famille de courbes parallèles composée de cercles géodésiques, comme ceux-ci correspondent aux parallèles de la surface de révolution sur laquelle S est applicable, la courbure totale restera constante sur chacun de ces cercles géodésiques; de plus, leur développée géodésique commune se réduira à un point O.

I Supposons alors qu'il existe une seconde famille de courbes parallèles de cette nature et soit Ot le point de concours de leurs normales géodésiques; considérons le quadrilatère curviligne MM, M' M 2 formé par deux couples de cercles géodésiques de chacune des deux familles (fig. io5). Soient K, K,, K/, K2 les valeurs de la courbure totale en chacun des quatre sommets de ce quadrilatère; d'après ce qui précède K= K.,, K, = K' d'où K = K.'. La courbure totale est donc constante sur toute la surface. Celle-ci est par conséquent applicable sur une surface de révolution à courbure totale constante dont l'axe coupe les méridiens en un point correspondant indifféremment, soit au point O, soit au point O,. Si donc l'un au moins des points O, 0( n'est pas un point singulier de la surface S, le méridien, ainsi qu'on l'a vu plus haut, se réduit à un cercle et l'on a, en résumé, le théorème suivant :

Théorème. — Toute surface qui admet deux familles de courbes parallèles formées de cercles géodésiques est applicable sur une surface de révolution à courbure totale constante; si l'un au moins des deux points O, O, auxquels se réduisent les deux développées géodésiques est un point régulier, la surface est applicable sur une sp/ière et tous ses points jouissent de la même propriété que le point O.

CHAPITBE XXIir. — SURFACE RAPPORTÉE A Si:s LIGNES DE COURRl'RË. !;<)