ET DU SECOND ORDRE. COURBURE DES LIGNES ASYMPTO

TIQUES; FORMULES d'O. BONNET; APPLICATION AUX SURFACES DU SECOND ORDRE. SURFACES DONT LES LIGNES DE COUR- BURE SONT DES CERCLES GÉODÉSIQUES.

105. Parmi les systèmes orthogonaux qu'on peut tracer sur une surface donnée, celui que forment les deux familles de lignes de courbure présente un intérêt particulier. Si l'on prend pour lignes coordonnées f> = const., u = coost. les lignes de

courbure correspondant aux courbures principales ; — , -=r-, il y

1 1 l Kj K2 J

a, entre les coefficients du ds- et les rayons de courbure principaux, des relations simples que nous établirons d'abord.

Soient À, u, v les cosinus directeurs de la normale aux points a?, y, z. Les formules d'O. Rodrigues, appliquées à l'axe des x, nous donnent

(1) Rl^=^, R2^=^,

du du ' dv dv

d'où, en dérivant la première par rapport à r, la seconde par rapport à iij

n d2X d\ dR, d"-x d*\ dl o\\,

(2) Ri - — ; — 1 = — = R.. 1 -;

ou dv du dv du dv ' du ov ov ou

en appliquant les mêmes formules à l'axe des y on a de même

du dv du dv ou dv ' Ou dv dv du

Introduisons maintenant les formules de réduction du Chapitre précédent; les équations (2) deviennent, en prenant pour axes les directions principales et la normale en M,

du dv Ri dv pi du dv

d^j. fg dV , g dR3

n - — — = — — = rv-2 t

du dv p2 ' du dv R2 du

car les formules (1) se réduisent alors à

D dX , d\x d\ d\x

du J du dv dv

Ï5i maintenant on élimine - — r- entre les deux premières equa-

du dv l l

tions (3), - — — entre les deux dernières, on a les formules cher-

x 'du dv 7

chées :

jl^(Rs Rl) = R ' fl,

) f dv Ri dv

i^(Rl R2) = Rli.^a.

I ^ du ' " ' x R2 du

On peut laisser subsister dans ces formules les courbures

. 1 , • ii- 1 , 1 df \ dg ,

ireouesiques des lianes coordonnées -. —, — -f- étant eiraux a n & f dv g du °

— , — ; on peut aussi leur donner une autre forme en posant

k^^- ïb = "

elles deviennent alors

1 df dP dO i <te dP dQ

v J uv dv dv g du du du

Surfaces isothermiques. — Lorsque les lignes de courbure sont isothermes, la surface est dite isothermique ; il est aisé de déduire des formules (5) L'équation qui caractérise les surfaces isothermiques; on peut toujours, en effet, remplacer des coordonnées isométriques u, v par des fonctions U et V ne dépendant chacune que d'une seule de ces deux variables et telles que l'on ait f=°-J la condition cherchée s'obtient alors en éli-