CHAPITRE XXIII. — SURFACE RAPPORTEE A SES LIGNES DE COURBURE

minant la fonction Log/ entre les relations (5), ce qui donne

fdP dQs de ov

v / dP dQ \ ) d ( tfu dèT )

/ ' dv>\ Q /

et, en simplifiant,

d / 1 dp x

du \Q dt>,

' de \ g d// / — °'

,Q ^P x Ou dv

dP dQ dP dQ

du dv Ov Ou

Cette équation (6) est vérifiée identiquement quand P se réduit à une constante; d'où l'on déduit le théorème suivant, en appelant courbure moyenne la demi-somme des courbures principales :

Théorème. — Toute surface à courbure moyenne constante est isothermique .

En particulier les surfaces minima, pour lesquelles on a P = o, sont divisées en carrés par leurs lignes de courbure.

106. Théorème de Lamé. — Nous ferons plus loin l'application des résultats précédents à quelques questions particulières; pour le moment, revenons à la théorie générale et reprenons les formules (i) et (2) :

dx -H — d'X f)Rl ^X ***

du du du dv dv du du dv

àx dX d*x dR, dX d2X

dv dv du dv du Ov 2 du dv

TVT 1 f 1 • ,\ • d\ d\ d2 X IMous en déduirons, en éliminant — , — et

du dv Ou Ov

d2.r dR, dx d2X

du dv Ov Ou l du dv

„ d*x dR, dx d2X

" du dv du dv du dv

dJL o-L

1 1 \ d^x Ri dx R, dx

R2 Hi/àudv Ov du du Ov

ou encore

,, d*-x R, dR, dx R, dR, dx

( Ri — R2 ) — - — 'r- tt — - t- = o

' du dv R2 du dv Ri dv du

ou, en tenant compte des formules (4),

d%.r àLogf d.r dijOgg d.r

du dv dv Ou du dv

d'où le théorème suivant :

Théorème. — Lorsqu'on prend pour lignes coordonnées les lignes de courbure de la surface, les trois coordonnées ponctuelles d'un point quelconque vérifient une même équation linéaire et du second ordre, savoir

à^) dhogf çft d hogff àO

9 dudv ~ dv * du ~ dû dv ~

Considérons, au lieu des coordonnées ponctuelles a?, y, z, les cosinus directeurs X, u.,v de la normale; entre les équations précéda dentés éliminons , nous obtenons

ou dv

n . d*l dR, d\ dRt à\

(Ri — R> ) 3 H - • -r r-i • — = O,

du dv du dv dv du

ou, en tenant compte des équations (4),

d'-l i dg R, d\ i df R, d\

Ou dv ,Ar du Ri dv f dv R2 du

On peut donc énoncer le théorème corrélatif du précédent, savoir :

Théorème. — Lorsque Von prend pour lignes coordonnées les lignes de courbure de la surface, les cosinus directeurs de la normale satisfont à une même équation aux dérivées partielles linéaire et du second ordre, savoir :

d*% Rt dhogf dS Rg dLogff dS

du dv ~ R~2 dv dû ~ R[ dû dv ~~ °'

Les propositions réciproques sont exactes et peuvent être énoncées sons la forme suivante (') :

( ' ) Ce théorème et les suivants sont contenus comme cas particuliers dans une proposition générale dont on trouvera la démonstration dans les Leçons de M. Darboux Sur la théorie des surfaces, t. I, §§ 113 et suivants.