CHAPITRE XXIII . — SURFACE RAPPORTÉE A SES LIGNES DK COURBURE

Théorème. — Si une équation aux dérivées partielles du second ordre linéaire et de la forme

du dv

admet trois solutions satisfaisant à la condition

dO, dO, d82 dOj ^ d03 de3 du dv du dv

— = o, du dv

on aura les équations d'une surface rapportée à ses lignes de courbure en égalant ces trois solutions, soit aux coordonnées x,y,z d'un point quelconque, soit aux cosinus directeurs de la normale.

Supposons en effet qu'on élimine A et B entre les trois équations qui expriment que 0,, Go, Q3 sont solutions de l'équation proposée. On aura ainsi

de,

dO., du

de s

dO, ~dv

d0;i "dv

du dv

Or si O,, H-,, 03 sont les coordonnées cartésiennes a?, y, z, cette équation exprime (troisième Partie, § 76) que les lignes M = const., v — const. forment sur la surface un réseau conjugué; la condition imposée à ô1} 92, G3 exprime, d'autre part, que ce réseau est orthogonal si l'on suppose les coordonnées rectangulaires; elles coïncident donc avec les lignes de courbure.

Si au contraire, on regarde G,, 82, 63 comme les cosir. is directeurs de la normale, la relation (11) exprime encore que* es lignes u = const., v = const. forment sur la surface un réseau conjugué; quant à la relation

dG, dO, ^ dO, <)<), d03 dOj du dv Ou dv du ov

elle signifie que ce réseau conjugué est représenté sur la sphère par un réseau orthogonal; il est donc encore formé des lignes de courbure de la surface.

107. Courbure des lignes asymptotiques. — Lorsque le plan oscillateur d'une ligne tracée sur la surface coïncide enunpointM avec le plan tangent, le théorème de Meusnier tombe en défaut ainsi que nous l'avons remarqué (§ 77) et ne permet pas de calculer la courbure ^; mais celle-ci ne diffère pas alors de la courbure géodésique et peut, en conséquence, être déterminée par les formules générales données au paragraphe 92.

Lorsque la surface est rapportée à ses lignes de courbure, l'angle i que fait la tangente à la courbe avec la ligne v = const. est égal au demi-angle des directions asymptotiques; on a donc, en appelant a, b le cosinus et le sinus de cet angle,

cos^=rt, siru = b, tangi* = -

où

, Ri hi R2

R,-R2' R2— Ri

La courbure r- étant égale à la courbure géodésique -, on a R P

fg d{gs'\ni) d(fcosi) ^d(bg) d(af | H " du dv au dv

fe , à g df db rda

R du dv

'" du J dv '

Si nous remplaçons — > — par leurs valeurs tirées des équa-

r s du dv ' l

dons (4), cette relation devient

(12) ^ = kg-Bf

en posant

dw"4" R2(Ri— R2) du ' "" <h> "1"aRi(Ri— Ri) dv

Reste à calculer A et B, ce qui se fait sans difficulté; prenons par exemple A; on a

A i db ,i e>Ra T) ~ 7) dû R2 du

Or, d'après la définition de Z>,

2 db i ciR, i

/oRi

\ du

dR,\

~ du )

\ du

R, dR,

b du ~ R2 au ' R2— Ri

R2 du