CHAPITRE XXIII. — SUBFACE RAPPORTÉE A SES LIGNES DE COURBURE. 3<S

d'où, en substituant dans la valeur de A,

Rs — K| l du K2 du J "~ H, \ du ■ RT ~ôû

ce qui peut s'écrire

Ri{ du Ri du / - du \R;5

on aurait de même pour B

d'où enfin, pour la courbure j? > ., v fg ,,u, à /R, \ sp, d /R,

Cette formule, où l'angle i figure par son sinus et son cosinus, a l'avantage de ne donner lieu à aucune difficulté relativement aux signes; si Ion y remplace a, b par leurs valeurs en fonction des rayons de courbure principaux elle prend la forme suivante sous laquelle elle a été donnée par O. Bonnet :

< , ^ „ (R,— Ra)a i 1 à I R, \ i l d /R, \

Appliquons cette formule aux surfaces réglées; l'une des deux valeurs de -jr- doit être nulle dans toute l'étendue de la surface; lorsque celle-ci est une surface du second ordre, les deux valeurs de 77 sont nulles puisque les deux lignes asymptotiques ne sont tout autre chose que les génératrices reclilignes ; on a par conséquent

àu\Rl) de\H*J °"

Réciproquement, si Ton suppose ces deux relations vérifiées sur toute la surface, les deux familles d'asymptotiques se composent de lignes dont la courbure est nulle, c'est-à-dire de droites, et la surface, étant doublement réglée, est une quadrique; de là le théorème suivant qui a une grande importance dans la théorie des surfaces du second ordre :

Théorème. — Lorsqu' un point parcourt une ligne de courbure sur une surface du second ordre, le rayon de courbure principal correspondant varie proportionnellement au cube de l'autre rayon de courbure principal. Réciproquement, si les lignes de courbure d'une sur/ace jouissent de la propriété précédente, cette surface est une quadrique.

Il est aisé de déduire de ce théorème une forme remarquable de l'élément linéaire d'une surface du second ordre, rapportée à ses lignes de courbure; nous pouvons en efïet prendre pour

variable v une fonction quelconque de -^ et pour u une fonction quelconque de ■—; le moyen le plus simple consiste à poser

R1= i-u*, R2 = uvs, d'où :

R! Ov v R2 du u

et d'après la formule (4) •

> àf v i /

f dv v- — u'1 i \ i dg u i /

g Ou II- — V'1 2 ^

Ku — v

et, en intégrant,

yî==U(«*^), g>* = V(u*-i>*),

U et V étant des fonctions, l'une de u, l'autre de v. On a donc

ds- = (r- — u-) (U du- -h V dv- l.

On en conclut que les lignes de courbure d'une surface du second degré forment un système isotherme composé de coniques géodésiques; le ds- est de la forme de Liouville, en sorte que l'équation des lignes géodésiques admet comme première intégrale (§98)

v- cos2 i -f- u1 sins i ='const.

Remarque. — Les surfaces du second ordre sont les seules surfaces dont les lignes de courbure forment un système de Liouville; nous renverrons pour la démonstration qui, sans être