CHAPITRE XXIII. — SURFACE RAPPORTÉE A SES LIGNES DK COURBURE
difficile, exige d'assez longs développements, au Mémoire de Bonnet sur les surfaces applicables {Journal de l'Ecole Polytechnique, XLIP Cahier, § 20).
108. Courbure géodésique des lignes de courbure. — Les formules générales qui donnent la courbure géodésique des lignes coordonnées deviennent, quand la surface est rapportée à ses lignes de courbure
£ K2 dLosRi / Ri t? Los K8
pt ~~ Rj— R2 dv ' J, ~ R!— R2 du '
et permettent de traiter un grand nombre de questions relatives aux surfaces définies par une propriété géométrique de leurs lignes de courbure. Proposons-nous, par exemple, de déterminer les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont des cercles géodésiques.
D'une manière générale, supposons que la surface admette un réseau orthogonal formé de cercles géodésiques. Nous avons vu (§ 9-4) que le ds- peut alors se mettre sous la forme
. . dir2-h dv"-
U étant fonction de u, V de v ; d'où l'on déduit, pour les courbures géodésiques des lignes coordonnées
-L=v, il=-U'.
Pi P2
Si nous supposons maintenant que les lignes coordonnées soient les lignes de courbure, les équations (i5) deviennent
d'où
V R2 i JR, U' R, j <m2
U + V R,— R2 R[ ~àv~' U ■+- V R,— R, R2 du
i dR, i ^R-2 / i
U' au VU, R,/ U
Pour achever la solution, il faudrait remonter des formules précédentes aux expressions des coordonnées x, y, z en fonction de u et de v ; ce calcul, dont on trouvera le détail dans le Mémoire
de G. Bonnet sur les surfaces applicables (/oc. cit., § 22) est lon<; et compliqué; il est préférable de reprendre la question en se servant uniquement de considérations géométriques.
Soit donc M un point quelconque de la surface, MN la normale, MP la normale principale à la ligne de courbure considérée, 8 l'angle iNMP, p, le rayon de courbure géodésique, on aura d'abord
ds
(16) dQ = Y> R = ptsin0,
la première de ces équations exprimant simplement que la ligne en question est une ligne de courbure; soient encore G le centre de courbure et K le centre de la sphère osculatrice dont nous
désignerons par ;• le rayon, a l'angle MlvC, on a {fig- io5)
(17) KG = T — =/'sina, R = rcosa.
as
Or, si l'on différence la seconde des formules (16) en suppôts sant pi constant et en tenant compte de la relation clh=-=,
il vient
ds
dR = Oj cosô d(\ = pi cosO — ,
et les formules (l'j) se réduisent à
pi cosO — /• sina = o,
p! sin 0 — r cosa = o.
d'où
pi= r, 0+a = -;
donc, dans toute l'étendue de la ligne de courbure considérée, la sphère osculatrice coupe la surface à angle droit et son rayon est constant.
Deux cas peuvent alors se présenter (deuxième Partie, $o7) : ou le centre de la sphère osculatrice est fixe et la ligne de courbure considérée est sphérique ; ou cette ligne de courbure a sa courbure constante; mais dans ce cas onaa = o, 8 = — et, d'après la première des formules (16) — = o. La ligne en question se réduit
