CHAPITRE XXIII. — SURFACE RAPPORTÉE A SES M». MIS DE COURBURE. SSg

donc à un cercle et, par suite, esl encore une courbe sphérique. En résumé, toute ligne de courbure dont la courbure géodésique est constante appartient à une sphère qui coupe la surface à angle droit. Si donc toutes les lignes de courbure sont des cercles géodésiques, La surface est, en chacun de ses points, orthogonale à deux sphères S,, ï2 dont chacune reste invariable quand on se déplace sur la ligne de courbure correspondante; il est bien évident d'ailleurs que ces deux sphères se coupent également à angle droit.

Ceci posé, considérons trois sphères Sj, 22, Sa correspondant à

Fig. io5.

trois lignes de courbure du second système; toutes les sphères S, devant les couper à angle droit auront leurs centres sur l'axe radical de ces trois sphères ; on en conclut que toutes les sphères S2 passeront par deux points fixes A2, B2 situés sur cette droite D,. De plus, les sphères S, auront un môme plan radical contenant les centres de toutes les sphères £2 et par suite se couperont suivant un même cercle K(.

Si l'on fait subir à l'ensemble une inversion en prenant pour centre le point A2, l'une des deux familles de sphères se transformera en un faisceau de plans passant par un point fixe O transformé du point B2, l'autre en une famille de sphères ayant pour centre ce point fixe. La surface cherchée sera donc transformée en un cône de nature quelconque ou en un cylindre si le point O est rejeté à l'infini (' ).

Le raisonnement précédent ne s'applique que si l'une au moins des deux familles est composée de sphères n'ayant pas leurs

(') Si les points A:, B, étaient imaginaires, le cercle K, serait réel; en prenant pour pôle d'inversion un point quelconque de ce cercle, on aboutirait, comme on le voit plus loin, à une surface de révolution.

3gO QUATRIEME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUR UNE SURFACE.

centres en ligne droite; si cette circonstance se présente, toutes les sphères S, passent par un même cercle K^, toutes les sphères S2 par un même cercle Ko ; si l'on prend pour centre d'inversion un point quelconque du cercle K,, la première famille se transforme en un faisceau de plans passant par une droite fixe, la seconde en une famille de sphères ayant leurs centres sur cette droite; la surface cherchée se transforme alors évidemment en une surface de révolution. La solution de la question proposée est donc donnée par le théorème suivant :

Théorème. — Une surface dont toutes les lignes de courbure sont des cercles géodésiques est la transformée par inversion d'un cône, d'un cylindre, ou d'une surface de révolution.

109. Transformation normale infiniment petite. — Supposons qu'on élève en chaque point M d'une surface S, une normale MM' infiniment petite dont la longueur / soit une fonction donnée des coordonnées curvilignes u, v qui déterminent sur S la position du point M. Le lieu du point M| sera une surface S| infiniment voisine de S. Nous donnerons le nom de transformation normale à la transformation ainsi définie. Ceci posé, cherchons s'il existe un réseau orthogonal qui se transforme en un réseau également orthogonal lorsqu'on passe, par une transformation normale, de la surface S à une surface S, infiniment voisine. Les deux surfaces étant rapportées à un système de coordonnées rectangulaires, les coordonnées de M| se déduisent de celles de M par les formules

3?j = x -Fpl, y\—y^(ii- zi = z — /.

/étant une fonction infiniment petite de.retdejK qui forment sur S, un système de coordonnées curvilignes; on en déduit en différentiant :

dxi = dx -f- p dl -+- /( r dx -+- s dy). dyx = dy -+- q dl -+- l( s dx -+- t dy),

dz\ = dz — dl.

Prenons maintenant pour axe des z la normale en M à la surface S; pour axes des x et des y les tangentes aux deux lignes du réseau orthogonal (pie nous voulons transformer; nous devons