CHAPITRE XXIII. — SURFACE RAPPORTEE A SICS LIGNES DE COURBURE. 3gi

faire p = q = o ; ajoutons alors les canes des trois équations précédentes il vient en ne conservant, comme on doit le faire, que les tenues du premier degré en /,

ds\ = (i-+- ilr) (/.>--+- n + v//) dyi-'r î/s(a+ lr -+- /^j <Ar cAk.

Il faut et il suffit que s soil mil pour que les lignes x = const., r = const. se coupent à angle droit sur la surface Si; or cette condition exprime, comme nous le savons, que les lignes x = const., y= const. sont tangentes aux directions principales de S, d'où ce théorème :

Théorème. — Pour qu'un réseau orthogonal d'une surface S

se transforme en un réseau orthogonal dans une déformation normale infiniment petite, il faut et il suffit qu'il soit composé des lignes de courbure de S.

Surface d'aire minima. — Le théorème de Du pin [voir Troisième Partie, § 80), relatif aux systèmes triplement orthogonaux se déduit immédiatement de la proposition qui précède. Soient en ellet deux surfaces S et S i infiniment voisines appartenant à l'une des trois familles considérées, les deux autres familles déterminent sur S et S| deux réseaux orthogonaux qui se déduisent l'un de l'autre par une transformation normale infiniment petite et qui, par suite, sont composés des lignes de courbure de S et de S,. Nous déduirons en outre, de l'expression trouvée pour l'élément linéaire de la surface S, la démonstration d'un théorème important relatif aux surfaces d'aires minima.

Considérons un contour fermé (G) et une surface continue S passant par ce contour; on peut choisir S de telle sorte que l'aire limitée sur S par le contour (G) soit aussi grande que l'on voudra; mais cette aire ne peut évidemment devenir moindre que toute quantité donnée; en supposant qu'il existe une surface pour laquelle cette aire soit un minimum, cherchons quelle sera la propriété caractéristique de cette surface.

Pvapportons la surface S à ses lignes de courbure u = const., ç = const.; soit une autre surface S( passant par (C) et infiniment voisine de S; on peut passer de S à S, par une transformation normale en prenant pour l une fonction infiniment petite des coor-

données u , v, assujettie à s'annuler en tous les points du coutour (C). Considérons; sur les deux surfaces {fig. 106), deux

Fig. 106.

rectangles infiniment petits correspondants MPQR, M,P,Q,R,;

soient A, A, les aires de ces deux rectangles, — > t— les courbures

principales de S au point M; on a, d'après ce qui précède, en revenant à nos notations habituelles :

ds2 = f2 du? -+- g2 dv2 . A = fg . du rfr ;

\i— A = 'lfg.l

R, RJ

du dv :

La différence des deux aires totales est donc mesurée par l'intégrale double

étendue à tout l'intérieur du contour (G). Or nous supposons que S est la surface d'aire minima; cette intégrale doit donc être nulle ou positive quelle que soit la fonction indéterminée /.

Si ( = — h tt- ) n'était pas nul en tous les points de cette portion de

surface, on pourrait choisir la fonction / de telle sorte que l'élément de l'intégrale fût partout négatif. L'intégrale double serait alors négative, contrairement à l'hypothèse. On doit donc avoir

dans toute l'étendue de la surface S, - — h j— = o, et nous pou-

M j ri o

vons énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Pour que /'aire limitée par un contour donné sur une surface S ait une valeur moindre que pour toute autre surface passant par ce même contour, il faut <jue les