CHAPITRE XXIV. — APPLICATION AUX SUBFACES DU SECOND ordre. J

parallèle à un déplacement iM M' elléctué sur la surface et ayant pour cosinus directeurs a, (3, y; on a alors

£, t\ et Ç étant les cosinus directeurs du rayon central OM.

Ceci posé, on peut avoir besoin de comparer la surface S à une autre quadrique S, infiniment voisine ayant mêmes plans principaux, mais d'autres longueurs d'axes. Si nous difTérentions dans cette hypothèse l'équation (4), elle nous donne pour deux points M, AI, situés sur le même rayon central

dr É* ïi 2 £2

(5) — = L.da+±-db + ±-dc.

Supposons, par exemple, que S( et S soient homothétiques; da, db, de sont alors proportionnels à a, b, c ; on a donc, en appelant dk une fonction infiniment petite de a, fe, c,

d'où dr = rdk, résultat d'ailleurs évident a priori. Considérons encore le cas où les deux surfaces S etS| sont homofocales ; en désignant alors par o une variation infiniment petite, nous aurons

0(l2 = <jU- = OC1 = 101,

l étant une fonction de a, 6, c; on en déduit

&a = — oc, ob = - àl, oc = - ol, abc

et l'égalité (5) devient alors

ce qui peut s'écrire encore

Soi! alors dh la distance du point M à la surface homothétique

infiniment voisine, 0// la distance du même pointa la surface homo-

focale infiniment voisine ; remarquons que cette distance est, clans

les deux cas, la projection du petit vecteur MM, sur la normale en

M à la surface; ces deux directions font évidemment un an^le

p avant pour cosinus — On aura donc pour l'un et l'autre cas

(6) dh = - dr = P dk, 8/1 = - 8r = ^ ,

et comme dk, ol sont indépendantes de la position du point M, on est conduit à ce théorème :

Théorème. — La distance d'un point variable sur une quadrique à la quadrique homo focale infiniment voisine est inversement proportionnelle à la distance du même point à la quadrique homothétique infiniment voisine.

112. Propriétés communes aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure. — On sait (Troisième Partie, § 72) que, pour une courbe quelconque, située sur une surface du second ordre, on a D- = — PR«, R« étant le rayon de courbure normale; si l'on rapproche de cette proposition les expressions obtenues pour dh et ùh, ainsi que le théorème de Joachimsthal, PD = const., démontré à la fin du dernier Chapitre et relatif aux lignes de courbure et aux lignes géodésiques, on voit que le long de l'une quelconque de ces lignes le produit R„ P3 doit demeurer constant ; on a donc le théorème suivant :

Théorème. — Le long d' une ligne géodésique ou d'une ligne de courbure, le rayon de courbure normale varie :

1" En raison inverse du cube de la distance du plan langent au centre;

2" En raison inverse du cube de la distance à la sur/ace homothétique infiniment voisine;

(') Il sera toujours facile de discerner, parmi les propriétés de la quadrique à centre, celles qu'on peut étendre aux parabololdes.