CHAPITRE XXIV. — APPLICATION' AUX SURFACES DU SECOND ORDRE. "3g

:>" En raison directe du cube de la distance à la surface homofocale et infiniment voisine.

Propriétés spéciales aux lignes de courbure. — Lorsqu'il s'agit d'une ligne de courbure, le diamètre parallèle à la tangente devient un axe de la section centrale dont le plan est parallèle au plan tangent. Si nous désignons par v la valeur du produit PD{, qui reste constant tout le long de la première ligne de courbure, par u celui du produit PD2 relatif à la seconde ligne de courbure, nous aurons, d'après ce qui précède, en appelant comme toujours lli, K2 les rayons de courbure principaux

R,P= — Df. R2P= — Dl, l'D,= r, PD2=</, (7) PDtD2 = afcc,

celte dernière égalité traduisant la propriété connue, relative au volume du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués. On en déduit

Pt>2R,= Pu2Ri= — a*ft2c2;

d'où Ton conclut

ii:, ce"

r Ri R> / / 7

Les rapports r— , — - sont donc constants, le premier quand on

parcourt la première ligne de courbure, le second quand on parcourt la seconde. Nous avons déjà rencontré ce théorème qui résulte, ainsi que sa réciproque, de la formule de O. Bonnet pour la courbure des lignes asymptotiques (§107). De plus, l'égalité

Ra- b'1 c- , . , , , ,

2 = -rr— met en évidence le théorème suivant :

Théorème. — Le long d'une ligne de première courbure, la seconde courbure principale varie en raison directe de la distance à la surface homothétique infiniment voisine, et la première courbure proportionnellement au cube de cette même distance.

Remarque. — On appelle polhodie le lieu des points pour lesquels la distance P du centre au plan tangent a une valeur constante;

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foo QUATRIEME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUR UNE SURFACE.

la dernière des formules (8) donne l'expression de la courbure lolale ,. ,, en coordonnées curvilignes et l'on en déduit que les

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lignes d'égale courbure ne sont autres que les polhodîes; leur équation en coordonnées curvilignes est uv = const.

Considérons maintenant un rectangle curviligne ÀBCD de grandeur finie, formé par quatre lignes de courbure {fig- 108). Soient

Fis;. 108.

AB, CD deux lignes de première courbure, BC, DA étant de la seconde famille. Menons aux quatre sommets quatre normales infiniment petites AA', BB', CC, DD', limitées à la surface honiofocale infiniment voisine; nous aurons, d'après ce qui précède, les deux systèmes d'égalités