CHAPITRE XXIV. — APPLICATION AUX SURFACES Di; SECOWD ORDRE

lignes de courbure^ les dislances des quatre sommets à la surface homofocale infiniment voisine forment une proportion.

1 13. Emploi des coordonnées elliptiques. — L'élude des relations outre les lignes de courbure et les lignes géodésiques d'une surface du second ordre devient extrêmement facile quand on a recours au système de coordonnées que nous avons défini (troisième Partie,

p. a8()) et que fournit le système triplement orthogonal formé de quadriques homofocales; il convient de reprendre d'abord, avec quelques détails, la théorie de ces coordonnées elliptiques. Considérons l'équation

.ri y- z-

J v ; a ■+- t b -T- t c-yt

Ainsi que nous l'avons vu, a;, y, s étant donnés, cette équation admet trois racines m, v, w réelles et distinctes si a, b, c sont, comme nous le supposons, différents. En d'autres termes, pur chaque point de l'espace, on peut faire passer trois surfaces de celle famille; nous savons aussi que ces trois surfaces se coupent deux à deux à angle droit, que l'une est un ellipsoïde, les deux autres des hvperboloïdes, l'un à une nappe, l'autre à deux nappes.

Les trois racines M, c, w sont les coordonnées elliptiques du point qui a pour coordonnées cartésiennes .r,y, s; nous devons chercher d'abord l'expression de x. y, z en fonction de //, e, iv. Pour cela, observons qu'on a identiquement

car cette fonction H est complètement déterminée par ses Irois zéros, ses trois infinis et la condition de se réduire à — i pour t infini. Identifions cette expression avec l'expression (5) ; multiplions les deux membres par t -f- «, puis faisons t = — a; nous aurons ainsi la valeur de./;2 et nous en déduirons par analogie celles de yet de c2, ce qui nous donne

(M + B)(i' + rt)(ir + rtl (b — a) (c — a )

(il { y-~ —, ; >

Ce sont les formules de transformation cherchées. On peut encore faire autrement l'identification des deux expressions de H (t); si l'on chasse les dénominateurs avant d'identifier, on a

— z*(t-\-a)(t-hb)==(t — u)(Lt — e)(t — w).

(12) (b-hc)ar--+-(c-\-a)yi-Ji-(a-\-b)z- — ab — bc — ca — — (uv-+-t>w-+-wu 1, f bcx--¥- ('c( y- -f- abx- — abc = uvw.

( )n en conclut que les équations

u -h v -h w = const.; uv -+- r« — wu = const., uvw = eon«t.

représentent en coordonnées elliptiques : la première, les sphères

ayant pour centre commun l'origine ; la seconde, les surfaces

du second ordre homocycliques à la quadrique particulière

a.r- -\-bv2-\-( ■:•:•-= 1 ; la troisième, les surfaces homothétiques, à la

1 • .• r« -r'- , yl z~

(iiiadrique particulière \- -. — = 1»

1 l ' abc

Distances du centre aux plans tangents. — ■ Cherchons la distance l\,. du centre au plan tangent à la surface w = const. xNous

avons

l\i 1 a -+- iv.)* < h d'autre par!

= — ll'i w),

D'où, en faisant / = w et représentant par f { ' t) la fonction f( t)=(t -+- a) ( t ■+- b) (t -+■ c),

-H'OrlJ"1-':1^"-1''.

On aura donc, par analogie, les trois formules