CHAPITRE XXIV. — APPLICATION AUX SURFACES DU SECOND OllDRE

trouverons

<•/./• du dv dw

x ua v -+- <( w -+■ a

et deux du nulles analogues, d'où l'on déduit, en tenant compte des conditions d'orthogonalité (p. 286),

.', ds* - du^- \ , Xl , -- y\ , H ^--\ H- dv"- \ "'"' , -H. . .1

-+- du2 - — • -h . . . ,

mi. d'après les formules ( [3),

' du \ 2 / dv\- / r/«

4';s! = If;J+(p:; + vi>,,

i *■ = rf««+ ^ dv-

+ <tt'-")(tV-V)div*.

Il résulte de là que toutes les surfaces du système sont isothermiques; si l'on fait, par exemple, chv = o, on a, pour l'élément linéaire de la surface w = o,

4 ds* = (p — u) — -A- tf»2 ■+■ ^A- rft'2 .

ce qui met en évidence cette propriété, déjà démontrée d'ailleurs (p. 386), que toute surface du second ordre est isothermique. On en conclut que l'ensemble des quadriques homofocales forme un système triplement orthogonal et isotherme. Lamé a démontré que ce svslème triple est le seul système réel qui divise l'espace en cubes infiniment petits. Nous renverrons, pour la démonstration de ce beau théorème, au mémoire de O. Bonnet sur les systèmes isothermes (Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXe Cahier).

Intégrale première de C équation des lignes géodésiques. —

Remarquons enfin que, sur chacune des surfaces du système, par

exemple sur la surface w = eonst. , les lignes de courbure formant

un système de Ljouville, les lignes géodésiques vérifient l'équation

i»cos2ê-f- u sinst = const.

à laquelle on peut arriver d'ailleurs par une autre voie.

.|0 î QUATRIÈME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SLR UNE SURFACE.

Calcul des diamètres. — Considérons toujours, en particulier, l,i surface w = const. et cherchons la longueur du demi-diamètre parallèle à un déplacement effectué, sur cette surface, parallèlement à la direction v = const. ou, ce qui revient au même, parallèlement à la normale de la surface u = const.; si nous appelons D„ ce demi-diamètre,

J = p2 [ , Z! | zi 1 ,

caries cosinus directeurs de D,, sont évidemment- — — > ,- — — >

« -+- « y -+- « -p — — — • Or, si nous retranchons l'une de l'autre les deux énua-

tions

Vft (a -+- u)- (b-hu)- (c-hu)-

(a -f- u) (a -t- «' ) {b -î- u) ( b -i- w ) ( c -H « ) ( c -4- »' ) d vient

P£ L< a -+- iv) (a -+- m)2 (b -h n')(b + u)'1

"4"(c-f-.v)(t.-H«)sJ =(lV")DlP^; d'où

(î 5) D2 = w> — m et de même D2 = w — v.

D'une manière générale, si l'on désigne par D/ le demi-diamètre parallèle à un déplacement incliné d'un angle/ sur la ligne p = const., on a, en observant que D, est un rayon central de l'ellipse qui a pour demi-axes Dw et D,,, (,6) D2 (--«>(«•-«)

w — v cos2 i — u sin2 i

d où l'on déduit aisément la valeur du rayon de courbure normale d'une ligne quelconque tracée sur la surface w = const.

114. Propriétés des lignes géodésiques. — Considérons en particulier la quadrique w = o dont l'équal ion cartésienne est