CHAPITRE XXIV. — APPLICATION AUX SURFACES DU SECOND ORDRE

el qui est par conséquent la plus générale des surfaces du second ordre à centre. Les formules précédentes deviennent pour w = o

('7) 5¥=^' Df=-«, DI = -P,

t»; r cos* 1 -t- u sin*«

— m rf«! v du''

fv—u\\ — Il (lll- ( lu) f/s- = ( ; ; !

\ i \^(ii ^-a){n-^- 0)( U-+-C) (t'H-<7

( )n déduit de la dernière, ainsi que nous l'avons dit plus haut, (pie L'intégrale première des lignes géodésiques est

v cos2 i -i- u si n2/ = const.

On arrive d'ailleurs au même résultat en écrivant la relation PDj= const. et en tenant compte des formules (17) et (18).

La constante qui figure au second membre est évidemment égale à e0 si la ligne géodésique touche la ligne de courbure dont L'équation est v = c0.

Remarquons encore que d'après les formules (17) les coordonnées ;/, v sont égales en tout ombilic de la surface et la constante du second membre de l'équation précédente se réduit à la valeur commune de ces deux coordonnées; cette valeur est d'ailleurs évidemment égale à — b d'après ce que nous avons dit relativement à la séparation des racines de l'équation (9) si a <^b <c; on a

donc

v cos2 i -+- u sin2 i -+■ b = o,

pour l'équation de toute ligne géodésique issue d'un ombilic.

Nous savons, et cela résulte d'ailleurs de l'équation u = V= — />, qu'il existe, dans le cas de l'ellipsoïde, quatre ombilics réels F i,F2, F3, F/, situés sur la section principale dont le plan est perpendiculaire à l'axe moyen. Considérons alors une ligne géodésique quelconque issue de l'un des ombilics, F, par exemple, et distincte de la section principale F, F2 qui elle-même est à la fois une ligne géodésique et une ligne de courbure (flg- '09). L'équation cartésienne de cette section étant .y = o, nous pouvons prendre v= — b pour son équation en coordonnées curvilignes. La ligne géodésique considérée, issue de F, , rencontrera une seconde fois cette section au point dont les coordonnées curvilignes sont données par les

Jo6 QUATRIÈME PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUR UNE SURFACE.

deux équations

v = — b, p COSa i -+- // s i 1 1 - / = — 6,

d'où u= v = — &. Ce second point d'intersection sera donc l'un des trois autres ombilics, F3 par exemple ; il résulte d'ailleurs de la propriété caractéristique des géodésiques (p. 348) cjn e, si un arc de courbe dont les extrémités sont fixes se déforme d'une manière continue, en restant géodésique, sa longueur est invariable; or, la

Fie. ioii.

surface n'ayant aucun point singulier, on peut, par une déformation de cette nature, passer de l'un à l'autre des deux arcs géodésiques qui composent la section principale et qui ont pour extrémités F, etF3; ces deux arcs ont donc même longueur; en d'autres termes les deux points F( et F3 sont diamétralement opposés, d'où ce théorème

Théorème. — Toutes les lignes géodésiques issues oV un ombilic r^ont concourir en un second ombilic diamétralement opposé au premier ; leur longueur commune est égale au demi-périmètre de la section principale perpendiculaire à 1 axe moyen.

Ho. Lignes de courbure. — Ainsi que nous l'avons remarqué, la valeur de l'expression v cos2 i -f- u sin2 i reste la même pour toutes les lignes géodésiques tangentes à une même ligne de courbure. Considérons alors un point M situé sur la ligne de courbure v = Â~ et joignons-le à deux ombilics consécutifs F,, Fa ; appelons 9t o2 les angles que font ces deux géodésiques avec celle qui touche la ligne v = k au point M; nous aurons, d'après la propriété des ombilics, pour les deux lignes F, M, F2M

k cos^O! -+- u sin2cpi = /> cos2cp2 -+- M sin2<p2 = — />,