CHAPITRE XXIV. — APPLICATION AUX SURFACES DU SECOND ORDRE

ci cela quelle que smi la seconde coordonnée m, c'est-à-dire quelle que soit la position du poinl M sur la ligne v = /. . On cri déduil

immédiatement

k - h tang2o, = tanç2o2 = 7 •

il - h

Les angles o(, o> sonl donc égaux ou supplémentaires; les deux c;is correspondent évidemment aux deux lignes de courbure qui liassent au point M et l'on a la propriété suivante :

Théorème. — Les deux lignes de courbure qui se croisent en un point M sont bissectrices de V angle formé par les deux lignes géodésiques qui joignent ce point M à deux ombilics quelconques.

Ellipses et hyperboles géodésiques. — Considérons maintenant, sur une même ligne de courbure, un point M' infiniment voisin de M. Nous avons, d'après les propriétés des segments géodésiques, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

FtM'— F, M = MM'coscp,.

F2M'— !•', M --— MM'cos?!;

d'où

et l'on démontrerait de même qu'on a, pour la seconde ligne de

courbure,

d'où ce théorème :

Toute ligne de courbure d'une surface du second ordre est le lieu des points dont les distances géodésiques à deux ombilics quelconques ont une somme ou une différence constante.

La plupart des propriétés finales des coniques planes s'étendent immédiatement aux lignes de courbure des surfaces du second ordre et les démonstrations sont identiques; considérons, par exemple, deux lignes de courbure (C) (F) de même famille [fig. 1 10) ou de familles différentes (Jig- 111). D'un point P pris sur 1' menons des tangentes géodésiques PM, PM' à (G). Soit v=.k L'équation de (C), on a tout le long de la géodésique MP une

jo8 01 ATRIÈME PARTIE. — COORDONNEES CUIIVILIGXES SUR UNE SURFACE.

valeur constante pour L'expression

or celle valeur est égale à /, au point M. On a donc au point P

et de même

ccos2o -1-Msinsc9 = / .

v cos2©i-+- a sin2Oj = /, ;

Fie.

d'où Ton conclut évidemment

?iï

si l'on tient, compte de la disposition des angles cp et cp, dans les deux figures, on a donc ce premier théorème :

Peux tangentes géodésiques à une même ligne de courbure font des angles égaux avec chacune des lignes de courbure qui passent par leur point d'intersection.

Les propositions analogues aux théorèmes de Graves et de Chasles se démontrent comme pour les coniques. La figure i 10, par exemple, donne, quand on passe du point V au point P' infiniment voisin,

P'M' — PM = pP'eoscp — MM .

P'Mi— PM,= MiM'i — PP'cosî?,= M,Mi— PP'cos?;

d'où

T'M'-f-P'M',— M,M't = PM h- PM,— MM', ; d'où celte généralisation du théorème de Graves et de Chasles :

Si d'un point mobile sur une ligne de courbure on mène des tangentes géodésiques à une ligne de courbure du même