CHAPITRE XXIV. — APPLICATION AUX SUIIFACES 1)1 SECOND ORDIIE. f\OÇ

système (C), la somme de leurs longueurs diminuée de l'arc de la courbe (C) compris cuire les deux points de contact, conserve une râleur constante.

Si les deux courbes (C) et(r) ont la disposition indiquée dans l,i figure iii, on voit qu'on a, en appelant H leur point d'intersection,

P' M', — PM , = - P F" cos 9, 4- M , m ; ,

P'M' — PM =— PP'cosç +M'M;

d'où, en retranchant membre à membre et tenant compte de ce que o = © , ,

dPMt — dPM = M, M,- M'M =rfHM,- rfHM, (•<■ i|iii peut encore s'écrire

f/(PM,-HM,i -, d(PM — HM);

d'où

PMj - HM, = l'Ai — HM = const.

La constante est nulle comme on le voit en plaçant le point P, en H ; donc :

Si deux lignes de courbure (C), (P) de systèmes différents se coupent en un point H, lorsque d'un point P mobile sur la seconde on mène des tangentes géodésiques à la première, leur différence est égale à la différence des arcs de celle-ci compris entre le point H et les deux points de contact.

Supposons maintenant (ffg- i i o) que la courbe (G) étant fixe et avant pour équation c = /i-,, le point P se meuve sur la surface de telle sorte que l'angle MPM, ait une valeur constante V; l'angle ot

est alors ésral à — — — et l'on a au point P

V cos2cii -i- n sin20[ = k ou

c sin2 Y- u cos2— = />.

C'est l'équation en coordonnées elliptiques du lieu décrit par le point P: si en particulier on suppose V= 7» cette équation se

lit) QUATRIEME PARTIE. — COORDONNEES CURVILIGNES Si II UNE SURFACE.

réduit à

Le lieu du point I' est donc ù l'intersection de la quadrique considérée w = o avec la surface // -f- v -f- iv = ik. Ornons savons que celle dernière est une sphère concentrique à la quadratique, donc :

Le lieu du sommet d'un angle droit formé par deux géodésiques tangentes à une ligne de courbure fixe est une conique sphérique.

Courbure géodésique d'une ligne de courbure. — ■ Nous donnerons enfin, pour terminer, une expression intéressante du rayon de courbure géodésique de la ligne de courbure c = const. Revenant à nos notations habituelles et posant f- = v — « ; nous avons pour la courbure géodésique de la ligne v = const.

p ov\ t I j. 4

Or, si nous appelons i<b l'angle F, MF2 formé par les deux rayons vecteurs géodésiques issus de deux ombilics consécutifs ( fig. 2), nous avons, en vertu des propriétés des ombilics,

d'où

et par suite

v si n2 <|» -t- u coss 'i = — b :

a cos:) <b = — ■>.( v ^r- b y1 .

Le produit p cos3<li reste donc constant tout le long de la ligne v = const. On sait d'ailleurs (première Partie, §9) que le rayon de

courbure d'une conique plane est éffal à f* -, p étant le paramètre

ii l'angle des deux rayons vecteurs issus des foyers-, la formule précédente, qui est due à O. Bonnet [Mémoire sur la théorie générale des surfaces [Journal de l'Ecole Polytechnique, \WlIe Gabier, § 32)], me! donc une fois de plus en évidence I analogie qui existe entre les coniques planes et les lignes de courbure des surfaces du second ordre.