CHAPITRE XXIV. — APPLICATION AUX SURFACES l»l SECOND ORDRE. |II

110. Réseaux harmoniques sur une surface quelconque. — On a \ u. page 3 i'i. que, >i le ds- est réductible à la forme de Liotn ille, >i, eu d'autres termes, la surface est harmonique, le réseau des Lignes coordonnées est formé d'ellipses el d'irj perboles géodésiques, lieux des points dont les distances géodésiques à deux courbes données ont une somme ou n ik^ différence constante ; dans le cas des quadriques, ces coniques géodésiques sont les lignes de courhure, el les développées des deux courbes directrices se réduisent à deux points qui sont des ombilics; niais il n'en résulte aucune simplification et les propositions établies dans ce cas particulier s'étendent, ainsi que leur démonstration, à tout système orthogonal et isotherme formé de coniques géodésiques. Supposons, en effet, qu'on ait mis le ds- sous la forme

(h1 = ( U — V ) ( du1 -+- dvl ) ;

l'expression l sin2« + Vcos2t conserve une valeur constante sur une ligne géodésique quelconque; si celle ligne reste tangente à Tune des coniques «lu réseau, par exemple à la conique v = (3,

on a

Usin2i'-+-Vcos2i=V([3)

Etant donné un point P de coordonnées (m, e), cette équation l'ait connaître l'angle i sous lequel la ligne Y = const. est coupée, au point P, par une tangente géodésique menée de ce point à la conique A = \ rp ; on en conclut que, d un point donné P, on peut mener deux tangentes géodésiques à une conique quelconque du réseau; l'angle formé par ces deux tangentes a pour bissectrices les tangentes aux deux lignes coordonnées qui se croisent au point P; la valeur w de cet angle est donnée par la formule