T T ■ « W T , W IT

u si n2 h V cos2 - = \ (p) .

Si L'on attribue à to une valeur constante, cette équation est celle • lu lieu décrit par le sommet d'un angle de grandeur constante, dont les côtés enveloppent la conique U = [i ; elle se réduit

à U -+- V= const. quand to = - .

Remarque. — Imaginons, sur les deux rayons géodésiques

ji 2 QI \TIUi:\li: PARTIE. — COORDONNÉES CURVILIGNES SUR UNE SURFACE.

Ml'. M , I * ( fig. i 10 et i i i), deux points Q et Q, qui décrivent des trajectoires orthogonales de ces rayons vecteurs; l'égalité « = ox entraine évidemment la suivante

rf(PQ±PQ,) = o

On peut donc prendre pou?- courbes directrices les trajectoires des points Q et Q<, c'est-à-dire deux développantes quelconques de n importe quelle conique du réseau. 11 n'y a donc aucune différence essentielle entre les ellipses et les hyperboles géodésiques, puisqu'en choisissant convenablement les courbes de base ont peut faire en sorte qu'une courbe donnée soit une hyperbole ou une ellipse.

Si, enfin, on calcule, par la formule générale, la courbure

géodésique-- de la conique v = const., on obtient immédiatement L-V V sr *

tlOU 0! COS3 — = 2( \ 3 — \ P ' 1

Le produit du rayon de courbure géodésique par le cube du cosinus du demi-angle formé par les deux rayons géodésiques a une valeur constante sur chacune des coniques du réseau. C'est la généralisation du théorème d'O. Bonnet.