QUESTIONS A TRAITER GÉOMÉTRIQUEMENT

1. Etudier, directement et sans. recourir à la théorie du centre instantané, le lieu du sommet d'un angle constant dont les côtés enveloppent deux courbes fixes ; construire la normale en chaque point. Cas particulier où l'une des deux courbes se réduit a un point ; construction de la tangente à la podaire, normale ou inclinée, d'une courbe plane. Cas où les deux courbes enveloppes des cotés de l'angle mobile se confondent avec une même conique; lieu du sommet quand cet angle est droit. (Introduction).

2. Eieu des points d'un plan dont les distances à deux points fixes sont liées par une relation linéaire ( Ovales de Descartes) construction de la normale. Même question pour le lieu des points dont les distances à un point et à une droite sont liées par une relation linéaire. (Introduction).

3. Construire la normale en un point M à la courbe plane définie, en coordonnées bipolaires, par l'équation p '. p ' = const. Casoù at=a2 {Ovales de Cassini); trouver la relation simple qui existe, dans ce cas particulier, entre la normale limitée à l'axe focal, la bissectrice de l'angle formé par les deux rayons vecteurs et la droite qui va du point M au centre. (Introduction.)

C1) Certaines questions, malgré l'intérêt qu'elles présentent, n'ont pu être traitées dans le cours ou ne l'ont été que d'une façon très sommaire, en raison «les limites que nous avons dû nous assigner; l'astérisque * désigne ceux des exercices proposés qui peuvent utilement, à ce point <\c vue, servir de complément au texte.

1 1 i EXERCICES IMIOPOSES.

4. Même question en supposant que pj et ps représentent les distances »lu point 1\I à deux droites fixes ; cas particulier où a, = ou ; de la construction trouvée pour ce cas particulier déduire une propriété connue des asymptotes de l'hyperbole. (Introduction.)

55. Un segment rectiligne, de longueur et de position variable, reste langent, en son milieu, à une courbe fermée ; démontrer que les aires des deux courbes décrites par ses extrémités sont égales ; cas où la longueur du segment reste constante; qu'arrive-t-il quand le point de contact divise le segment variable dans un rapport constant quelconque ? (Introduction, i

G. On considère deux courbes fermées convexes, parallèles et équidistantes d'une longueur /; démontrer que l'aire comprise entre ces deux courbes a pour valeur ±-l--+- /s, s étant la longueur de l'une des deux courbes. (Introduction.)

7*. Le lieu des points P du plan dont les podaires, par rapport à une courbe fermée ont une même aire S est un cercle dont le centre O ne dépend pas de S (Steiner). Si l'on appelle S0 l'aire de la podaire du

point O, on a, pour un point P quelconque S = S0 -! — • PO ; comme application trouver l'aire du limaçon de Pascal.

8*. On mène, d'un point P. deux tangentes PM, PM' à une ellipse; démontrer que la différence PM -f- PM' — arc MM' demeure constante lorsque le point P décrit une seconde ellipse homofocale à la première. (Théorème de Graves et de Chasles).

9. Si le point P décrit une hyperbole homofocale à l'ellipse donnée et coupant celle-ci en un point Q. démontrer que la différence des tangentes PM et PM' est égale à celle des arcs d'ellipse QM et QM'. (Mac Gullagh, Chasles.) (Introduction.)

10. Lieu des centres des coniques qui ont, en un point, donné, un contact du troisième ordre avec une conique donnée (G); ce lieu est le diamètre de (G) qui passe par le point donné (Ghap. I.)

11. On joint un point M d'une courbe plane au milieu I de la corde

infiniment petite parallèle à la tangente en M; a étant l'angle que fait avec

la normale la direction limite de i\IJ, démontrer qu'on a T<ra = -•- — .

1 o as

Il désignant le rayon de courbure au point M. [On petit substituera la

courbe la parabole qui lui es/ osculatrice au point M.) (Ghap. II.)

12. Construire par points la développée d'une conique à centre définie par un foyer et la directrice correspondante. (Ghap. II.)

EXERCICES PROPOSÉS. j I ">

13. Le rayon de courbure de la développée d'une conique est égal à trois fois le segment de la normale à celte développée compris entre son pied et le point où elle coupe le diamètre delà conique qui passe au point correspondant ( Mac-Laurin i. ( Cliap. II.)

li*. Démontrer que le lieu du point de concours des tangentes à une ellipse en deux points associés est une conique homofocale à cette ellipse. On appelle associés deux points P, Q appartenant à un même quadrant AB et telles que les normales en ces deux points soient à une même distance du centre o. Déduire du théorème énoncé que la différence des deux arcs AI*, BQ de l'ellipse est égale à o. (Fagnano). ( Chap. II.)

lo. Enveloppe de la droite qui joint les extrémités des aiguilles d'une montre ; construire, à un instant quelconque, le point de contact de cette droite et de l'enveloppe, et le centre de courbure de celle-ci. (Ghap. II, III.)

16. Enveloppe d'une famille de cercles à un paramètre; étudier les relations entre l'enveloppe et le lieu des centres; cas particulier où les cercles passent par un point fixe. Comme application, trouver l'enveloppe d'un cercle qui passe par un point fixe O et qui varie de telle sorte que la corde déterminée par une sécante fixe soit vue de ce point O sous un angle constant. (Ghap. III.)

17*. Soient (C) une courbe fermée, (Ci) et (C2) les podaires, également fermées, d'un même point O par rapport à (C) et à sa développée; démontrer que l'aire de (Ci) est égale à la somme des aires de (C) et de (C2). Comme application, calculer l'aire de la podaire centrale de la développée de l'ellipse. ( Chap. III.)

18*. Une courbe fermée roule sans glisser sur une droite fixe : après un tour complet un point P, attaché a la courbe mobile, a passé d'une position A à une position B; démontrer que l'aire comprise entre la droite lixe. l'aie de roulette décrit par le point P, et les deux droites qui joignent les points A, B aux centres instantanés correspondants, est égale à deux fois l'aire de la podaire du point P par rapport à la courbe roulante (Steiner). Application au cas où la courbe roulante est une ellipse ayant P pour foyer.

10*. Généraliser le théorème de Steiner ; quelle modification doit-on faire subir à son énoncé lorsque la base est une courbe et que le rapport des courbures de la base et de la roulante est un nombre constant? Application à la quadrature des épicycloïdes. (Chap. IV. |

20*. Lorsqu'une courbe fermée roule sans glisser sur une droite lixe. lare de roulette décrit par un point P quelconque, attaché à cette courbe mobile, est égal à l'arc de podaire compris entre les projections de P sur les deux tangentes à (C) qui coïncident avec la droite fi\e à l'origine et à la fin du mouvement. (Steiner.)

i l6 EXERCICES PROPOSÉS.

Plus généralement démontrer que le rapport de l'arc élémentaire «le roulette à l'arc correspondant de la podaire, dans le cas où la base du roulement n'est plus rectiligne, est égal à K-+-I, K étant le rapport des courbures, à l'instant considéré, de la base et de la roulante. Appliquer ce résultat à la rectification des épieycloïdes allongées ou raccourcies, et de la courbe décrite par le foyer d'une ellipse qui roule sans glisser sur une de ses tangentes. (Chap. III et IV.)

21*. Construction de la formule de Savary. La formule de Savary (p. 67) ne dépend que de la somme des courbures de la base et de la courbe roulante; on peut donc, pour construire le centre de courbure d'une roulette, à un moment donné, remplacer dans la construction donnée page 70, les points O, Oj par deux autres tels que la somme des inverses des vecteurs C1O1, GO reste la même. Déduire de cette remarque deux autres manières de construire la formule de Savary. (Chap. IV. )

22. Appliquer la construction de Savary à la détermination du centre de courbure de l'épicycloïde. ( Chap. IV.)

23*. Démontrer, à l'aide des constructions de Savary, les théorèmes relatifs au cercle des indexions et au cercle des rebroussements. (Chap. IV.)

24. Un triangle ABC se déplace en restant constamment semblable à lui-même. Ses sommets A et B décrivent des courbes fixes dont on sait construire la normale en chaque point; le côté AB enveloppe une courbe fixe, le point de contact étant également connu à chaque instant. Construire la normale à la courbe décrite par le sommet (C)(Manhcim). (On ramène la question aux constructions connues dans le cas du mouvement «l'une ligure invariable, en envisageant successivement les trois angles invariables A, B, C.) (Chap. IV.)

2o. On considère, sur un segment AB de grandeur variable, le point M qui divise ce segment dans un rapport donné B. La normale à l'enveloppe du segment rencontre en a et S les normales aux trajectoires des points A et B; démontrer que la normale à la courbe décrite par le point M divise dans le rapport B le segment a[3. On déduira la démonstration de ce théorème de l'exercice précédent en considérant le cas limité où le Il iangle ABC se réduit à une droite.

Application : Construire, en un point donné, la normale à l'hyperbole définie par ce point et ses asymptotes. ( Lverc. 2i. )

20. Construire le centre de courbure de la roulette engendrée par un foyer d'une ellipse ou d'une parabole roulant sans glisser sur une droite fixe. Dans le cas où la courbe roulante est une parabole, déduire de la la construction trouvée que la roulette considérée esl une chaînette. (Chap. II et IV.)

i:\ekcicks proposés. 4 '7

27*. Théorème de Rivais. — Démontrer que les centres de courbure des roulettes engendrées par les différents points d'une droite A sont répartis sur une conique passant au centre instantané et tangente en ce point à la courbe roulante ; que devient cette conique quand A devient la droite de l'infini ? (Chap. IV. )

On appliquera à un point variable sur A la construction de Savary (p. 73) et l'on verra sans peine que le lieu du centre de courbure a deux points sur une droite quelconque menée par le centre de courbure de la base.

28*. Démontrer que les coniques de Rivais relatives aux diverses droites du plan mobile ont toutes, pour cercle osculaleur, au centre instantané, le cercle des inflexions. (Général Dewulf. ) (Chap. IV.)

29. Les deux premiers côtés d'un triangle indéformable enveloppant chacun un cercle fixe ; trouver l'enveloppe du troisième côté.

30. Etant donnés, clans un plan fixe P, un cercle fixe (C) de centre O et un point fixe A situé sur ce cercle, on considère un plan Q mobile sur P de telle sorte qu'une droite (D) de ce plan passe constamment au point A, tandis qu'un point IM de cette même droite décrit le cercle (C). Trouver la courbe de base et la courbe roulante. (Chap. IV.)

(Licence, Paris i883.)

31. Une droite située dans un plan mobile se meut en demeurant tangente à un cercle fixe, tandis qu'un de ses points A décrit une tangente fixe de ce cercle. Trouver la courbe de base, la courbe roulante, le cercle des inflexions. (Chap. IV.)

(Licence, Besançon 1884.)

32. Deux courbes ( C) et (C) sont symétriques par rapport à une droite A perpendiculaire à une de leurs tangentes communes T. On fait rouler sans glisser (C) et (C) sur la droite T de sorte qu'elles demeurent symétriques par rapport à A. Trouver la base du roulement et la courbe roulante dans le mouvement relatif de (C) par rapport à (C). (Chap. IV. )

(Paris, 1893.)

33. Un segment rectiligne AB, mobile dans un plan tc, est assujetti aux. conditions suivantes : il glisse sur un point fixe O de ce plan et est vu sous un angle droit d'un autre point C de ce plan. Trouver le centre instantané de rotation et les courbes décrites par ce point dans le plan - d'une part, et, d'autre part, dans un plan lié invariablement au segment AB (on suppose AB = ?. OC). (Chap. IV.)

(Paris, 1896.)

34*. Définir le roulement d'une courbe sphérique indéformable sur une courbe fixe appartenant à la même sphère et le roulement d'un cône mobile sur un cône fixe de même sommet. Etendre aux figures sphériques L). •:

BXRRCICRS PROPOSES.

la théorie «In centre instantané et des roulettes; démontrer que le mouvement le plus général d'un solide possédant un point fixe se ramène au roulement d'un eùne mobile sur un cône fixe. (Chap. IV et V.)

.'îj*. Montrer qu'on peut passer d'une infinité de manières d'une position d'un solide à une autre au moyen d'une translation et d'une rotation, l'amplitude de la rotation et la direction de son axe étant les mêmes dans tous les cas (déplacement hélicoïdal). Cas particulier où la rotation est nulle i mouvement de translation). Démontrer qu'on peut toujours faire en sorte que la translation soit parallèle à l'axe de la rotation i Kxere. 34.)

36*. Définir ce qu'on doit entendre, d'après l'exercice précédent, par Yaxe instantané de rotation et de glissement dans le déplacement continu d'une figure indéformable; montrer que ce mouvement se ramène au roulement d'une surface réglée mobile sur une surface réglée fixe, roulement accompagné d'un glissement le long de la génératrice de contact. i Exerc. 34 et 33.)

37. Trouver le rayon de courbure de l'hélice circulaire en considérant la section elliptique déterminée par son plan oscillateur dans le cylindre de révolution sur lequel elle est tracée. (Chap. V.)

38. Déterminer, à l'aide des éléments qui définissent une surface réglée, le paramètre de distribution du paraboloïde des normales. (Chap. VI. I

39. Démontrer qu'on peut, par une droite donnée A, faire passer une infinité d'Iivperboloïdes se raccordant avec une surface réglée le long d'une génératrice G (hyperboloïdes de raccordement '). Lorsque A passe à l'infini, ces hyperboloïdes deviennent des paraboloïdes hyperboliques ; démontrer que l'un des paraboloïdes de raccordement est équilatère, qu'un de ses plans directeurs est perpendiculaire à G, et qu'on l'obtient en faisant tourner de <)o" autour de G le paraboloïde des normales. (Chap. VI.)

40. Soient M un point quelconque d'une courbe I C ) t racée su r une surface donnée, IWT la tangente à ( C), IVITj la droite suivant laquelle le plan tangent en M est coupé par le plan central de la normalie correspondante; démontrer que MT et MTj forment sur la surface un système de tangentes conjuguées.

41*. Démontrer que les sections faites dans une surface par les plans qui passent par une droite D et les courbes de contact de cette surface avec les cônes dont les sommets sont sur cette droite forment sur la surface un réseau conjugué ( Konigs). Déduire île ce théorème que si les lignes de première courbure d'une surface sont planes et situées dans des plans passant par une même droite, les lignes de seconde courbure sont situées sur des sphères dont les centres sont sur cette droite.