I. COUBBES PLANES
42. Étudier, en opérant comme pour l'ellipse (§ XLII i, les propriétés île l'hyperbole définie par les deux équations
(normale en mi point, rayon ci centre de courbure, développée, rectifi cation ci quadrature |.
43. Démontrer que le centre de courbure en un point l\l d'une conique ii centre (C) esl situé mu- l'hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes de (C), qui passe par le centre de cette conique, et qui la louche au point M.
La démonstration géométrique est immédiate; déduire des ('quai ions de la conique (C) et de l'hyperbole, la construction suivante du centre de courbure : soient N le point où la normale en AI rencontre l'un des axes de ( C), 1' le point de rencontre du rayon central île M avec une parallèle à la tangente en M, menée par le point, N ; la parallèle au second axe menée par ce point M passe par le centre de courbure.
Étendre ces résultats au cas où la conique (C) devient une parabole.
44. Déterminer les courbes planes t elles qm' la courbure en un point quelconque iM soit proportionnelle à cos:i'^, 2© étant l'angle des rayons vri leurs qui joignent le point !\1 à deux points fixes.
Trouver une courbe plane telle que sa courbure en chaque point soit proportionnelle à la courbure, au point correspondant, de sa transformée par inversion.
i'i. lin chaque point d'une ellipse on mène une perpendiculaire au diamètre qui aboutit en ce point; étudier l'enveloppe de cette droite, déterminer son centre de courbure. Rectifier la courbe; elle est unicursale h -on are s'exprime par une intégrale elliptique de première espèce.
iii'. Généralisation du théorème </<• Steiner i Exerc. 7j. — Soil AI»
4îO EXERCICES PltOPOSKS.
un arc donné d'une courbe plane (C), A' el IV les projections d'un point î\1 «lu plan sur les tangentes en A et B; évaluer l'aire du secteur compris entre les rayons vecteurs MA, MB et la podaire du point M par rapport à (c); démontrer que le lieu des points M pour lesquels cette aire a une valeur donnée est une conique.
On supposera la courbe définie par l'ensemble de ses tangentes.
'h*. Théorème de Holditch. — Un segment recliligne AB se déplace de telle sorte que ses deux extrémités décrivent des courbes fermées, et revient à sa position première après n révolutions complètes; un point P, situé sur ce segment entre A et B, décrit alors une troisième courbe fermée; si l'on désigne par (A), (B), (P) les aires de ces trois courbes fermées, par a el b les distances de P aux extrémités du segment AB, on ;i
5 = (P) -h n-ab.
Soient or, y les coordonnées île P ; X\, y\ celles de A ; x-2, y2 celles de B ; / l'angle de AB avec OX; on applique la formule ordinaire de quadrature en prenant t pour variable et tenant compte des relations
.?■[ = x — acost, yi = y — rtsin/. ./ "2 = x -+- bcost, y* = y -+■ bsint.
4S*. Un plan mobile se déplace sur un plan fixe et revient à un moment donné à sa position initiale, chacun de ses points ayant décrit une courbe fermée; le lieu, dans le plan mobile, des points qui ont décrit des courbes de même aire K2 est un cercle; tous les cercles correspondant à des valeurs différentes de cette constante K2 sont concentriques.
49*. Généralisation du théorème de Holditch. — Deux, mobiles Mi Ma décrivent simultanément deux courbes fermées, de manière à se retrouvei à un même moment dans leurs positions initiales: soient M le point qui
divise le segment Mi M> dans un rapport donné — > P l'extrémité d'un ° r ' m 2
vecteur, d'origine fixe, égal et parallèle à MjM2. Démontrer qu'on a, ers
désignant par S, Si, S2, S les aires décrites par M, Mlr M2, P lorsque Mi
et M2 sont revenus à leurs positions premières:
maSi — m{ S2 /;/, ms
m-i — ni i { m , — ni\ )'-
Ce théorème est dû à Elliott; on le démontre comme celui de Holditch, en partant des formules
m ■-, x ! — /// ! .?., m ■■> yt — mx y-,
m* — ni
Remarque. — Il y a lieu t!e considérer comme de même «igné ou de
EXERCICES l'IMM'OSKS. j'.>. I
signes contraires deux aires fermées suivant qu'elles sont parcourues dans le menue sens ou dans deux sens différents.
50. Soient M, M] deux points d'une ellipse, situés sur un même quadrant et tels que les normales correspondantes soient à une même distante/ du centre O (points associés, p. i jj). Démontrer la relation
ÔM"2-4-ÔM,2= a*-H&2H-Z2,
et en déduire le théorème de Fagnano (a, b sont les demi-axes de l'ellipse).
51. Soient M, M' deux points situés sur un même quadrant d'ellipse. Mi, M', les deux points associés respectivement à M et à M'. Démontrer la relation
arc MM'— arc M, M', = 1 — 1',
l et V désignant les distances du centre de l'ellipse aux deux normales dont les pieds sont M et M'.
52. Déterminer les courbes planes telles que la projection du rayon de courbure en un point quelconque M sur le rayon vecteur OM, issu d'un
point fixe, soit égale à n fois ce rayon vecteur. Cas particulier où a = - ;
déduire du résultat obtenu un moyen de construire le centre de courbure en un point quelconque de la lemniscate de Bernoulli.
53*. On considère, sur la lemniscate qui a pour équation en coordonnées polaires
p2 = 2 «2 COS 2(0,
deux points Mi, Mi tels qu'on ait
COS (0] COS (Oi = •
i° Démontrer que les deux arcs OM1; AM2 ont même longueur, À étant le
sommet pour lequel w = o et Ole centre pour lequel co = - •
•2° Démontrer que — - est une fonction elliptique de l'arc OM = s; déterminer les invariants et les périodes de cette fonction elliptique.
3° De la valeur trouvée pour la demi-période réelle, déduire une autre démonstration du théorème de Fagnano.
54. Démontrer que dans la lemniscate de Bernoulli le rayon de courbure est égal au tiers de la normale polaire.
Chercher l'équation de la courbe plane pour laquelle on a, en général,
N K = -- • On est conduit aux courbes suivantes pour les valeurs correspondantes de la constante A:
L ■ = 3. lemniscate de Bernoulli;
/. = :>, cercle;
k = i, spirale équiangle;
/. = o, droite;
/r = — i, hyperbole équilatère;
Â" = -i- — > parabole ayant pour foyer le pôle O.
Vérifier géométriquement la propriété énoncée pour chacune de ces courbes particulières.
.v>3. Une courbe plane admet l'origine comme point double et son équation en coordonnées obliques est
•ixy = ax3 -+- 3 bx"-y ■+- 3 cxy- -+- dy3—-
i" Démontrer que les courbures des deux branches de courbe qui touchent respectivement Ox et Oy sont données par les formules
— = asinG, — = rfsinO,
ni K2
0 étant l'angle des deux tangentes au point O.
■>,° Appliquer ces formules à la lemniscate hyperbolique
3° Démontrer que les courbures des deux branches de courbe qui se raccordent en un point de rebroussement sont toutes deux infinies.
06. Trouver l'enveloppe des axes et le lieu des foyers des paraboles osculatrices ou tous les points d'une spirale logarithmique. Enveloppe des directrices.
57. On prend pour origine des rayons vecteurs d'une épicycloïde le centre du cercle fixe; soit K le rayon de courbure en un point M. p le rayon vecteur ÛM; démontrer que K et p satisfont à une relation de la forme
K--r- m p- = const. (//i -;- i > o).
Trouver toutes les courbes planes qui satisfont à cette condition.
(Licence, Poitiers igoô I.
M8. Un cercle de rayon a roule sans glisser sur une droite fixe, en entraînant un point M situé à une distance l de son «entre; démontrer que
EXERCICES PR0P0SKS. /J23
l'arc de roulette décrit par le point M pendant une révolution complète du cercle mobile est égal au périmètre d'une ellipse dont les demi-axes seraient a -+- /, et a — /.
(Pascal).
*>9. D'après le théorème de Steiner, relatif à la rectification des roulettes ( Exerc. 20), ce même arc serait équivalent au périmètre d'une podaire de cercle ; le démontrer analvtiquement ; en déduire une relation entre le périmètre du limaçon de Pascal et celui d'une certaine ellipse; ces résultats sont contenus dans un théorème général qui fait l'objet de l'exercice suivant.
GO. Lorsqu'une cartésienne ou lieu des points dont, les distances à deux foyers fixes sont liées par une. relation linéaire m.ipi-\- /n2p2= ni, se compose de deux boucles fermées dont l'une est complètement intérieure à l'autre, les rayons vecteurs issus d'un foyer coupent ces deux boucles en deux points correspondants M et M'; démontrer que la différence de deux arcs correspondants est égale à un arc d'ellipse dont les paramètres se déduisent simplement de ceux qui définissent la cartésienne.
(\V. Robërts.)
(51. Etudier la courbe décrite par un foyer d'une ellipse qui roule sans glisser sur une droite fixe (Roulette de Delaunay); démontrer que le rayon de courbure R et la normale N limitée à la droite fixe satisfont à la relation
JL ^.L^const.
Déterminer en général les courbes planes qui jouissent de cette propriété.
62. Trouver les courbes planes telles que leurs normales découpent sutune droite fixe des segments proportionnels aux arcs décrits par leurs points d'incidence.
( Dupobcq.)
Démontrer que le segment compris sur la normale entre la courbe et la droite fixe est proportionnel à la racine carrée du rayon de courbure.
63. On considère une famille de courbes planes représentée par l'équation /(.r, y, L) = o, où / est un paramètre variable; on suppose la fonction y
choisie de telle sorte que les trois équations f= o, — = o, — — , =o aient,
1 4 •' ot or-
quel que soit /, une solution commune {\, 7)); démontrer que, dans ces conditions, si le point (;, i\) n'est pas fixe, quel que soit /, la courbe (G) a, en ce point, un contact du second ordre avec son enveloppe; et trouver les conditions auxquelles doit satisfaire la fonction y pour qu'il en soit ainsi.
Gi. Une fiiinillc de courbes planes étant définie en coordonnées bipolaires par l'équation f(pi, pt) = const., démontrer qu'on obtient l'équation différentielle des trajectoires orthogonales en posant
p EL r/o,+ 0,-^ dOi=o,
Qi et 02 étant les angles que font les rayons vecteurs FiM, F2 M avec la direction F) F*, trouver, d'après cela, les trajectoires orthogonales des courbes
Étudier les cas particuliers où les courbes données sont : i" des cercles ayant pour centre le milieu de FjF2; a" des coniques homofocales ; 3" des ovales de Descartes; 4° des ovales de Cassini (f = pip%)\ >" le cas où l'on
?1 pi
(53. Démontrer que la courbe plane définie par l'équation intrinsèque
où a et A- sont des constantes, est une épicycloïde.
On le démontre aisément en prouvant que l'équation générale des tangentes est de la forme
.rsina — ycosa= Csin/.a, C étant une constante (cf. § 162).
dy
66. Soit -— z=f(x, y) une équation diflérentielle du premier ordre; à
quelle condition doit satisfaire la fonction f pour que les courbes représentées par l'intégrale générale F (or, y) = C forment un système de courbes parallèles? dette condition supposée remplie, montrer qu'on peut intégrer l'équation proposée par une quadrature. On commence par démontrer que la fonction intégrale F doit satisfaire à la condition suivante, o étant une fonction quelconque,
67. Les courbes représentées par l'équation F(a:, j') = C forment un
système isotherme lorque la fonction I" satislait a I équation i , = o;
J • ' dx% dy*
pour que ces courbes soient les courbes intégrales de l'équation diflérentielle
dy
-j- =/(.r, y), il faut et il suffit que la fonction y vérifie une certaine équation aux dérivées partielles du second ordre; former cette équation de condition et, la supposant vérifiée, en déduire un facteur d'intégrabilité de
l'équation considérée; comme application intégrer l'équation (xco*y -h yslny ) dx , < './-sin y — \cosy) dy = o.
