C.ouitBKS GAUCHES
68. Les coordonnées rectangulaires .r, %y, z d'un point mobile sur une courbe gauche étant exprimées en fonction de l'arc s, démontrer la formule
~ Rs" ds l.T/
/pIV ylV ^IV
On démontrera aisément cette relation en faisant usage des formules de réduction (§ XLIX), on en déduira la condition pour que la courbe soit une hélice; il faut et il suffit pour cela qu'on ait, la variable indépendante étant quelconque,
dx dy dz ds d2 x d2y d1 z d- s d:ix d\r d:iz d>s d'*x d'y d* z d'*s
69. Lorsqu'une sphère coupe sous un angle constant les génératrices d'un cylindre
i° La section droite de ce dernier est. une épicycloïde; on s'appuiera pour le démontrer sur le théorème qui fait l'objet de l'exercice 65;
i° L'hélice considérée est elle-même une épicycloïde sphérique et peut être engendrée par un point d'un cône de révolution qui roule sans glisser sur un cône de révolution de même sommet.
70. Démontrer que si une courbe sphérique (G) coupe sous un angle
constant les génératrices d'un cône de sommet S, elle coupe aussi sous un
angle constant les génératrices d'un second cône de sommet Si, et que, si
l'on développe le cylindre dont les génératrices sont parallèles à la
droite SS, et qui a pour directrice (C), cette courbe (G) se transforme en
une cycloïde.
(PlRONOINI.)
71. Déterminer les hélices cylindriques dont les normales principales rencontrent une droite fixe (Pirondini); démontrer que si cette propriété appartient à une hélice tracée sur un cylindre, elle appartient à toutes les hélices tracées sur le même cylindre, qui a pour section droite une des courbes définies dans l'exercice 62 (Duporcq).
4 s6 EXERCICES PROPOSÉS.
7:2. Étant donnée une courbe dont la torsion est constante et éçale à -»
île chaque point de celte courbe comme centre, et dans son plan oscillateur, on décrit un cercle de rayon a; démontrer que les trajectoires orthogonales île tous ces cercles sont des courbes dont la torsion est également constante et égale à -•
Ce théorème est un cas particulier de celui qui est énoncé sans démonstration dans le texte (p. 223).
73. Une courbe gauche est définie par l'ensemble de ses plans oscillateurs
dont l'équation est mise sous la forme (p. 128)
.rsin t — reos/ — \xz = H,
•j. et H sont îles fonctions de /; quelle relation doit-il y avoir entre ces fonctions pour que la courbe considérée soit une courbe de Bertrand?
Déterminer, dans le cas général, les coordonnées du centre et le rayon de la sphère osculatrice.
74. On considère la courbe ( E 1 définie en coordonnées rectangulaires par les équations
r' co>tc/t r' sinfrf/ , r' dt
x — a ! ■ -. — > y — a f j-^ ;> 3 = ak / r— — — — •
Jt (1 — kccost)- - J t K* — ACcos/12 Jt (1— A:Ccosf)s
1" Déterminer la normale principale, la binormale et le rayon de courbure.
2" Démontrer que cette courbe est une hélice; peut elle être circulaire?
3" Démontrer que les normales principales rencontrent une droite fixe 1 N | et détermine cette droite fixe.
\° Montrer que cette hélice est située sur un cylindre du second degré: déterminer la nature de ce cylindre.
>° Construire la courbe considérée (E) en distinguant trois ea*. suivant que k-l\- e>t inférieur, égal OU supérieur à l'unité.
6° Montrer que l'hélice (E 1 est algébrique dans le seul cas où /i-C'- = 1.
t C"" E. Barré.
7o. Deux courbes < C, 1 et 1 < !s) se correspondent point par point de telle sorte que les tangentes en deux points correspondants M] et ML. soient parallèles;
la première a une courbure constante et éçale à — > la seconde une torsion constante égale aussi à — ; démontrer que le lieu du point M qui divise
dans mi rapport constanl le seg nt MjMo est une courbe de Bertrand.
| BlOCHB.)
TU. Démontrer que les droites qui joignent l<- sommet d'un cône aux centres des sphères osculatrices d'une trajectoire oblique des génératrices sont rencontrées et partagées dans un rapport constant par les droites rectifiantes de cette trajectoire.
