APPLICATION DE L'ANALYSE A LA THÉORIE GENERALE DES SURFACES
77. Déterminer les lignes asymptotiques de la surface, lieu des milieux des cordes de la courbe gauche dont les équations sont :
78. Soient s l'angle des normales à une surface aux extrémités d'un arc infiniment petit I\1M'= ds, u> l'angle que la tangente en M à cet arc fait avec la tangente conjuguée, démontrer la relation
— et ^- étant les courbures principales au point M.
79*. Soit une courbe (C) tracée sur une surface à courbures opposées et qui a, au point M, pour plan osculateur, le plan tangent à la surface; soient R son rayon de courbure, T son rayon de torsion, R0 le rayon de courbure de la ligne asymptotique tangente en M à la courbe (C), Rt, \\> les rayons de courbure principaux; démontrer la formule
R Uo R/ T-v^ÏÏ7Rl
Cette formule est due à O. Bonnet; en y faisant —, = o, on retrouve le
théorème de Beltrami, énoncé, sans démonstration, dans le texte < Chap. VIF, p. 129).
80. On considère la surface z =j - tang.r ; calculer les courbures principales en un point quelconque; déterminer les centres de courbure principaux et les lignes asymptotiques; chercher le lieu décrit par les centres de courbure principaux en un point M lorsque ce point décrit une ligne asymptotique de l'un ou de l'autre système, rectifier chacune des deux courbes obtenues.
( Licence, Montpellier 1908.)
RXERCICES PROPOSÉS, fay
81*. Théorie de la flexion. —Soient \1 un point mobile sur une surface
(S.// la distance dece point à un plan de référence fixe (P), 0 l'angle du
plan I' avec le plan tangent à la surface au point M,, cp l'angle que fait avec
une direction lixc du plan(P) la trace du plan tangent sur ce plan (P);le
i dh rapport ■ . ■ -j- est ce que nous appelons la flexion de l'élément MM'
si ii- 1) do ' J
par rapport au plan (P); ceci posé on demande t\c démontrer les propriétés suivantes :
i" Le produit des flexions par rapport à un même plan, dedeux éléments pris dans deux directions conjuguées est égal cl de signe contraire au produit des rayons de courbure principaux au point M; en particulier la llexion d'un élément de direction asymptotique est égale à \/ — R, R.>.
2° Si l'on désigne par z l'angle que fait le déplacement MM' avec la
trace du plan de référence sur le plan tangent, par î! l'angle que fait, avec
la même droite, la direction conjuguée de MM', la flexion est égale à
ds sins , , , .
-. : j as étant 1 élément d arc du déplacement, d~ arc correspondant
(Il SUIS! r '
de l'indicatrice des normales.
3" La flexion d'un élément par rapport à un plan ne dépend que de la direction D de cet élément et de la direction A de la trace du plan de référence sur le plan tangent; on peut donc la représenter par le symbole i D, A) et l'appeler la flexion de la direction D par rapport à la direction A ; on a dans ces conditions (I)lA)-+-(A|D) = o.
(De.YIARTRES, Bull, de la S"c. math., année 1^87. )
82. Soient ce et cp' les angles que font les directions (D) et (D'), dans le plan tangent, avec la direction principale de courbure normale — » tu l'angle
de la direction (D ) avec la direction conjuguée, — > —, les ravons de coui-
bure normale relatifs aux deux directions (D) et (D'i; conservant Ie>
notations de l'exercice précédent, démontrer qu'on a
, „, RiRvsinfco — ce) Rsin(tu — oisinio — cp, )
Ro cos wcosep -H Rj siniosin cp sin (tu — cp, )
TT' ~~ ÏÏ (D, D') =
R, y \ r' r, ) \ r, R' ) '"' r, y \ R \\J\ rs r ,) '
Démontrer en outre les deux théorèmes suivants :
i° A toute direction (D) en correspond une autre (A) telle que (D, A) ait une valeur donnée. Les faisceaux correspondants sont homographiques et ont pour rayons double- les deux tangentes asymptotiques.
/,3o EXERCICES PROPOSES.
2° Si les deux directions (D) et (A) sont rectangulaires, la flexion (D, A) est égale eu valeur absolue à la torsion géodésique de l'élément correspondant.
3° La courbure totale t— -rr- est égale et de signe contraire à l'inverse du produit des flexions d'un même élément par rapport à deux directions conjuguées.
.'," Il existe deux directions (D ) et deux seulement pour lesquelles la flexion (D, A) est indépendante de (A); deux directions A et deux seulement pour lesquelles (D, A) est indépendante de D; ces directions sont, dans les deux cas, celles des tangentes asymptotiques et la flexion correspondante a pour valeur y/ — R| Ko-
{CL Bull, de fa Soc. math., loc. vit.)
83. Soit I le point situé sur la normale en M à une surface (S), à égale distance des deux centres de courbure principaux: i° déterminer les surfaces (S) telles que la projection du segment Ml sur une droite fixe OZ ait une valeur constante a; -x" chercher celles des surfaces (S) qui sont de révolution autour de OZ; 3" trouver et étudier celles des surfaces (S) dont i'équation est de la forme z =f(x) -4- cp ( y i; montrer que, sur ces surfaces particulières, les lignes x — const., y = const. sont des lignes conjuguées; chacune d'elles jouit de la propriété suivante: la projection du rayon de courbure sur une droite fixe a une longueur constante; 4° déterminer pour cette dernière classe de surfaces (S), les lignes asymptotiques et les lignes de plus grande pente.
N. B. — On trouvera pour l'équation des surfaces du paragraphe 3 ". C étant une constante arbitraire,
iz -+-(a-+-C) log. ( cos — '—; rf-(a — C dog.cos — — - = o. \ a ■+■ G / it — < .
84. On considère la surface de révolution définie par les équations
CD ( U ) ? < U ) . f(u)
x = j- — : cosr, y = sin «>, c- - — - ;
former l'équation différentielle des lignes asymptotiques; examiner le cas où/, cp, 0 sont des trinômes du second degré; démontrer que, sur toute surface de révolution dont le méridien est une conique, la détermination des lignes asymptotiques dépend des fonctions elliptiques.
85. Sur deux surfaces (S) et (Si), non développables, on fait correspondre les points M, INI B où les plans tangents sont parallèles. Soient (G) une courbe située sur (S) et passant par M, MT la tangente en M à cette courbe, M0 la tangente conjuguée; soient (G] ), M|Ti, M i Hi les éléments correspondants sur (Si):
1° Montrer que M6 et M|B, sont parallèles; en déduire que si AIT tourne autour de AI dans le plan tangent, AIT et M|T, se correspondent liomographiquement; définir cette homographie au moyen des directions asymptotiqu.es en M et en M].
■i" Il \ a doux directions AIT telles que AIT et AIiT, soient parallèles: il existe sur | S i deux familles de courbes, les courbes i u i et les courbes | v < telles que les courbes correspondantes de (S! ), à savoir les courbes (;/, |, i i! ) admettent en chaque point une tangente parallèle à la tangente correspondante de | n | ou de (p); les courbes («ici | v) sont conjuguées sur ( S ), les courbes ( U\ ) et ( V\ ) sur St ).
'V Appliquer ce qui précède au cas où, (S) étant, une surface quelconque, (Sj) est une sphère; montrer que les lignes ( u », {v ) sont, dans ce cas, les lignes de courbure de (S).
j" Vérifier que sur les deux surfaces
(S) x = 3u -+- tui'1— us, y = 3t> -+- 3pm2 — v3, z = 3ui — 'U-.
„ , 2 M — IV u2-+- r- I
ibi) -Ti = ..-» , .,•> , . ' y\
U2 M- Pa -+- l u* -t- V2 -f- 1
dont la seconde estime sphère, les points («, v) se correspondent d'après la
règle précédente, et que les courbes u = const., v = const. se correspondent avec parallélisme des tangentes.
(Licence, Rennes 1910. 1
80. Trouver les lignes de courbure de la surface définie parles équations
x = sin u sine, y — sin u cosc, z = cosu -+- log tang - + Ji v ).
Montrer que l'un des systèmes (C|) de lignes de courbure est composé
de lignes planes, l'autre système (C*) de lignes sphériques. Déterminer la
fonction f(v) par la condition que les plans des courbes (Ci » rencontrent
tous la surface sons le même angle; quelle est alors la relation entre u et
c qui détermine les courbes (Cs).
(Licence. Grenoble iyo8.)
87. Considérons une surface qui admette une famille de lignes de
courbure planes; si en chaque point AI d'une de ces lignes de courbure on
construit le plan oscillateur à la seconde ligne de courbure passant par ce
point, démontrer que tous les plans ainsi obtenus sont parallèles à une
même droite.
iR.vfiy.)
88. On considère les hyperboloïdes de révolution à une nappe représentés par l'équation
x- yi-hzi '- —, r = 1 -
a et b étant des constantes et l un paramètre variable :
/|3>. EXKRCICKS PROPOSÉS.
i° Fermer l'expression de l'élément linéaire de la surface réglée engendrée par celles des génératrices rectilignes qui rencontrent l'axe OZ: a0 Déterminer les lignes asymptotiques de cette surface.
(Licence, Paris 1907.)
89. On considère, sur une surface (S), d'une part les courbes (C) enveloppées par des plans normaux à (S) et parallèles à une direction donnée (D), d'autre part les courbes (C,) telles que la normale à la surface le long de chacune d'elles fait un angle constant avec la même direction D; démontrer que si ces deux familles de courbes forment un réseau orthogonal, la surface a un système de lignes de courbure situées dans des plans perpendiculaires à (D).
(Lucien Lévy. )
