Déterminer les lignes de courbure de la surface
ezcosr cosjr u,
u étant une constante. On démontrera qu'en faisant varier cette constante on obtient une famille de Lamé, et l'on déterminera les deux familles de surfaces qui complètent avec celle-ci un système triplement orthogonal.
OH. Trouver les lignes asymptotiques de la développée d'une surface du second ordre.
94. i" Former l'équation générale des surfaces du troisième degré symétriques par rapport, au plan des .ry ei qui admettent comme ligne d'ombilics la parabole z = o, y2 = icix.
■>." Démontrer que par chaque ombilic passent trois lignes de courbure.
3° Déterminer les lignes asymptotiques de cette surface.
05. Relativement aux trajectoires sous angle constant des génératrio :s d'une surface réglée, démontrer les propositions suivantes :
i" Les trajectoires orthogonales divisent homographiquement les génératrices; on entend par là que quatre trajectoires ortbogonalcs déterminent sur une génératrice variable quatre points dont le rapport anharmonique e^t constant:
2° Le système des trajectoires orthogonales est le seul système de trajectoires qui jouisse de celte propriété, si l'angle doit rester constant sur toute la surface;
3° Jamais un système de trajectoires ne peut être composé de ligne :s asymptotiques (excepté dans le cas de l'hélicoïde minimum);
4" Si un système de courbes ( C) divise en segments égaux les génératrice^ rectilignes, le système des trajectoires ortbogonales de (C) jouit de la même propriété; c'est le seul cas où deux systèmes orthogonaux déterminent, simultanément, des divisions homographiques.
I BlOCIIE.)
96*. Soient k la courbure normale d'une ligne (L), h sa courbure géodésique, q sa torsion géodésique, 0 l'angle sous lequel la sphère osculntrice de (L) coupe la surface; démontrer qu'on a, en posant
. dk . D dit
et désignant par p le rayon de la sphère osculatrice
dR kX^hB ds "" ' k B — h X ' t (kP>-h\yp2 a* -t- B*
tang 0 =
Déduire de ces formules que toute ligne de courbure dont la courbure tangenlielle est constante est nécessairement plane ou sphérique.
(Demartres, Bull, des Se. math., 1897.)
97*. On considère, en chaque point M d'une ligne (L) tracée sur une D. 28
I > l EXERCICES PROPOSES.
surface donnée, la sphère z qui touche la surface ci qui contient le cercle osculnteur de ( L) ; on désigne, en particulier, par U), tr2 les deux sphères <r
relatives aux deux lignes de courbure du point IM. par - — , — le^
courbures principales correspondantes, par ç l'angle que lait la tangente îi (Ïj) avec la première ligne de courbure; on représente enfin par les mêmes lettres accentuées les éléments analogues relatifs au point AI' de | l> i infiniment voisin de M. Démontrer les formules suivantes :
(<Tâ, CTj),
'ïg- in)-
MM
(<Ju a',)
: — I sino = (»,, Z\ )
et tirer de ces relations les conséquences qu'elles comportent au point de
vue (le la transformation par inversion. Le symbole (SS') désigne l'angle sous lequel se coupent les deux surfaces 8 et S', en un point donné.
(Cf. Bull, des Se. math., loc. cit.)
98. On peut appeler ligne diagonale, sur une surface (Si, une ligne tangente en chacun de ses points à l'une des diagonales du rectangle construit sur les axes de l'indicatrice; il existe, sur toute surface, deux familles de lignes diagonales qui ne sont réelles que si la surface est convexe.
i" Former l'équation différentielle des lignes diagonales dans un système quelconque de coordonnées curvilignes. Intégrer cette équation dans le cas
des surfaces minima ( — '- tt °
des surfaces hélicoïdes et des
quatli iques.
a" En particulier, trouver les lignes diagonales del'ellipsoïde
ca
