On considère la surface représentée par les équations

x = aemacos((3 — A" a), y — ae''Msin (fi— Ara), z = hc»>*,

djas lesquelles a, p sont des coordonnées curvilignes, a et // deux fonctions de 3.

i" Définir géométriquement cette surface, les lignes (3 const. étant considérées comme les génératrices.

2° Démontrer que la surface reste superposable à elle-même quand on l'agrandit dans un rapport quelconque.

EXERCICES PROPOSÉS. i > '

3" Déterminer ses lignes asymptotiques, ses lignes de courbure, ses courbures principales et ses lignes diagonales. (Surfaces spirales.)

100. Les seules surfaces cerclées telles que les plans tangents eu tous les points d'une génératrice circulaire enveloppenl un cône sont les enveloppes de sphère à un paramètre et celles qui sont engendrées par un cercle dont le plan reste parallèle à un plan fixe.

101. On considère une famille de sphères passant, toutes par un même cercle réel: démontrer qu'elle fait partie d'une infinité «le systèmes triples orthogonaux, et déterminer d'une manière générale ces systèmes triples.

( Licence, Paris 1901 .)

102. Les coordonnées de chaquepoint d'une surface ont pour expressions

x = a -+- R cosm, y = b -+■ R s in?/, z = v,

11, v étant deux paramètres indépendants, a. b, R trois fonctions de v; les lignes v = const. sont évidemment-dès cercles situés dans des plans parallèles au plan des xy\

i° Trouver le lieu des normales dont le pied décrit une génératrice donnée v = const.

2e Former l'équation différentielle des trajectoires sous l'angle i des génératrices circulaires; cas particulier des trajectoires orthogonales, interprétation géométrique.

3° Foi-mer l'équation différentielle des lignes asymptotiques et déterminer les fonctions a, b, R par la condition que la surface soit minima. On déterminera par des quadratures, dans le cas général, le lieu du centre delà génératrice circulaire et la loi de variation de son rayon; ces quadratures peuvent être effectuées par des fonctions simplement périodiques lorsque la surface est de révolution et dans ce cas seulement. Achever le calcul dans ce cas particulier.

103. Uni- cyclide est, par définition, l'enveloppe à deux paramètres d'une sphère dont le centre décrit une surface du second ordre appelée déférente et qui coupe orthogonalement une sphère lixe appelée directrice. Démontrer que le lieu d'un cercle doublement sécant à trois cercles fixes est une cyclide. (I)KMARTRES, Bull, des Se. math , t. XII, juillet 1888.)

Une démonstration géométrique très simple peut se déduire des propriétés générales des surfaces cerclées (Chap. XVIII, p. 3 10).

loi. i° Trouver l'enveloppe, à deux paramètres, des sphères qui ont pour équations

xi : yï , zi -^ xax -\- ibv -\- icz = h ■•- ,

|36 i:\ERCICES PROPOSÉS.

k étant une constante et a, b, c, trois variables liées par la relation o(ca — kb, cb -+- ak, c'2 -+- À2) = o.

i° Démontrer que cette enveloppe est une surface cerclée et que chacune des génératrices circulaires coupe toutes les lignes de courbure sous le même angle.

3° Déterminer la fonction <j> de telle sorte que le rayon de la génératrice soit constant et démontrer que la surface enveloppe se réduit alors à un tore.

103. Démontrer que si une surface admet une famille d'hélices circulaires telles que, le long de chacune d'elles, le plan osculateur soit incliné d'un angle constant sur le plan tangent à la surface, celle-ci est un hélicoïde, en d'autres termes l'hélice génératrice conserve un pas constant et une direction d'axe invariable.

106. On considère un trièdre mobile Oxyz dont la position dépend d'un paramètre?; les composantes da déplacement du sommet O suivant les trois arêtes o^, oy, os sont respectivement adv, bdv, cdv\ celles de la rotation infiniment petite autour de ces mêmes arêtes sont pdv, o, rdv, a, b, c, p, r étant des fonctions données de v. Appliquer les formules générales de la cinématique (p. 3i j) à l'étude de la surface engendrée par le cercle qui a pour équations, relativement à ce trièdre,

a?=Rcos», jK = Rsin?/, z = o,

R étant une fonction de v\ déterminer les équations de la normale en un point quelconque M(w, v)', définir la surface réglée qu'engendre cette normale lorsque, v demeurant constant, son pied décrit une génératrice circulaire ; démontrer que cette normale rencontre alors une conique fixe (k)] que cette conique est un cercle lorsque le plan de Ja génératrice circulaire est normal à la trajectoire du centre, et qu'elle se scinde en an système de droites lorsque la génératrice a un point commun avec la génératrice infiniment voisine ; les réciproques de ces deux dernières propositions sont vraies.

{Annales E.N., 3e série, t. II, p. i4o.)

107. i° Reprendre l'exercice précédent en substituant au cercle mobile l'hélice dont les équations relatives sont

x— / coso(î<, v)du, y— / sin<p(u, o)du, z = ty(v)du ;

déterminer en particulier l'angle que fait en un point quelconque (u, t>) la normale à la surface et la normale principale de l'hélice.

•2° Former l'équation différentielle des lignes asymptotiques, des lignes de

i &ERCICES PROPOSES. I 17

courbure; trouver le> expressions de la somme el du produit dés courbures principales en un point quelconque. Conditions qui caractérisent les surfaces minima.

;■ Trouver l'équation différentielle des lignes géodésiques.

j" Conditions pour que les hélices génératrices forment une famille de lignes géodésiques; démontrer que le cylindre circulaire est la seule surface qui admette une famille de géodésiques formée d'hélices circulaires.

I E. Barré, i

lOS*. L'équation d'un plan mobile étant

(1) (u ■+■ v )x -t- i(v — u)y -+- (uv — 1) z -+■ H (a, v) = o,

sa distance 0 à l'origine, et les cosinus directeurs £,V),Ç de ses normales sont donnés par les formules

Déduire des formules (2) qu'on peut, quelle que soit la définition, ponctuelle, tangentielle ou paramétrique d'une surface non développable, déterminer la fonction H(u, i> ), de telle sorte que l'équation (1) soit l'équation générale des plans tangents à cette surface; ce mode de représentation étant adopté, on demande :

t" D'exprimer les coordonnées .r,r, 5 d'un point quelconque en fonction, des coordonnées curvilignes (u,v) et de préciser la signification géométrique de coordonnées (w,t>) au point de vue de la représentation sphérique :

2° De former l'équation différentielle des lignes de courbure, et de montrer qu'on pouvait prévoir géométriquement la forme de cette équation ;

3° De donner l'expression des rayons de courbure principaux, et de former l'équation différentielle des lignes asymptotiques.

Si l'on représente par p,q, r,s,t les dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction II; on obtient les équations suivantes :

Equation des lignes de courbure

/■ du- =3 l dv2.

Rayons de courbure principaux

4R«— 4R(«f +i)(s+ s)-t- im'-f- 1 )*[«-+■ H — pu — f/t''

;)* — rt]

Équation des lignes asymptotiques :

/• du"- -\- 2(s -t- z ) du di- ■+- / <r/e2 = o.

i'58 KXKRCICES PROPOSES.

1(19*. Etablir les propositions suivantes, relatives aux surfaces ininima : i" La fonction II définie dans l'exercice précédent satisfait alors à l'équation ■ r = o; la fonction s est donc la somme de deux fonctions qui ne

Ou'-dv1 "

dépendent, l'une que de u, l'autre que «le p; si l'on représente ces deux fonctions par /'(u) — uf"(u) et ç'i v) — p©"(t>), on a pour les équations générales des surfaces minima, les accents désignant des dérivées,

H = -iu<f-i--ii'f— (uv + 1 )(/'-+- v')- z = — * = «/* +0? "— /'— <p',

a? -f- iy = es" — u-f"-i- ■?, uf — ?.f, x — iy = f" — r-o" — iv<s> — jo.

Ces formules sont celles de Weierstrass.

2° L'équation des lignes de courbure et celle des lignes asymptotiques s'intègrent par des quadratures; les lignes coordonnées u = const., v = const. sont les lignes de distance nulle et forment sur la surlace un réseau conjugué; et cette propriété des lignes de distance nulle n'appartient qu'aux surfaces minima.

'j" Deux courbes quelconques tracées sur une surface minima se coupent sous le même angle que celles qui leur correspondent dans la représentation sphérique de Gauss; réciproquement, toute surface qui possède cette propriété est une sphère ou une surface minima.

4° On peut trouver deux fonctions a. 3, l'une de u, l'autre de t>, telles que les coordonnées x, y. z aient pour expression : formules de Monge

x = a -f- p, / = A(a)+Bi3i,

z — il «/" — A'-'t -j.) ox — i / \ i ~ I> ', P) ^P !

elfectuer cette dernière transformation.

5° Faire voir qu'on peut trouver deux fonctions U, V, l'une de u, l'autre de V telles que les équations ci-dessus prennent la forme :

x = - / (i — u-)Udu -i — I i i — t - | \ <A .

y = ~ f (i-f- «2)Uf/«- '- f(i-t-v*)Vdv,

z = j u ( du 4- / vYdv.

110*. Lorsque les coordonnées d'un point quelconque sont exprimées par des équations de la forme

(i) ay=/i(tt)-t-<Pi(«"), y=f%(u) Qjf», s =/s(«) ■+-<?»(<>),

les lignes coordonnées u = const., v = const. forment toujours un réseau conjugué ; démontrer que, pour que la surface soit minima, il faut et il

EXERCICES PROPOSÉS. J3g

suffît que ce réseau vit composé des lignes de distance nulle, e'est-à dire qu'on ;u't

Cette condition étani supposée remplie, les équations

(3) ./■,, =t'[/i(a) ri"'1!' Vu t\/^>n ot{v)], s0 = i[/3(«) r-'r'i

définissenl une seconde surface miniina, appelée surface adjçinte (O. Bonnet); ces deux surfaces oni évidemment le même élément1 linéaire il lis deux plans tangents correspondant à un même système de valeurs de a et v sonl parallèles; démontrer que réciproquement, si deux surfaces -mit applicables- l'une sur l'autre et si les plans tangents correspondants sont parallèles, elles forment un système de deux surfaces minima associées; faire voir que les différentielles exactes dont il est question dans l'exercice précédent, sont précisément c?a?o, dj0. dz§.

III*. < hi considère, sur une surface, les trois expressions

rt<lz — Ç<IV; Z,dx — zdz, \dy — r\dx,

dans lesquelles;, tj, Ç sont les cosinus directeurs de la normale au point /-. i . s : démontrer que si l'une d'elles est une différentielle exacte, il en est de même des deux autres, et que c'est là la condition nécessaire et suffisante pour que les courbures principales soient en chaque point, égales et «le sjgucs contraires. Trouver toutes les surfaces minima donl l'équation-, en coordonnées rectangulaires esl de la forme s =j/'(a>)-+- 'f(jK)> efe déterminer les lignes de courbure de ces surfaces.

Ilv2. Ut, Ho. (t, V ;, étanl quatre fonctions de la seule variable //. V|. V2',V3,Vi quatre fouclionsde la variable r, on considère* la surface définie par les équations

U, V, ' £2 -+- V, U3 -h Vj

Démontrer que les lignes u const., (" = const. forment deux familles de courbes conjuguées, ei étudier la dévëloppable circonscrite à la surface,' suivant une ligne de l'une ou de l'autre famille; examiner le cas où les lignes coordonnées snnt îles lignes de courbure; comme application, étudier la surface définie par les équations

113. On considère la surface enveloppe du plan (P) qui a pour équation

a et 3 étant deux paramètres indépendants :

Il"

EXERCICES l'KOI'OSES.

i " Calculer les coordonnées du point de contact et la forme de l'élément linéaire, en fonction des coordonnées a,[i ;

i" Déterminer les lignes de courbure et les lignes asymplotiques de la surface enveloppe (toutes les lignes de courbure sont planes);

3° Les plans des deux lignes de courbure qui passent au point M coupent l'un ou l'autre des deux plans yOz, xOz suivant deux droites 1>, A; déterminer les trajectoires ortbogonales de ces deux droites ;

j' Montrer que les droites perpendiculaires au plan I' qui s'appuient sur D et A engendrent une congruence de normales; quelles sont les surfaces normale* à ces droites?

i Licence, Toulouse 1909. |

114. Etant donnés trois axes de coordonnées rectangulaires O.r, Oy, Os, on considère dansle plan des x,y la parabole qui a pour équation y- = ïp{x — b\ :

i" Former l'équation de la surface i'ë j enveloppe d'une spbère variable 1 passant par l'origine et dont le centre décrit celte parabole; étudier la section de (E) par le plan xOy, et la surface (E') obtenue en transformant (E) par une inversion d'origine O et de module /?2 ;

■în Soit (S) une spbère tangente à l'origine au plan xOy; démontrer que le cercle suivant lequel la spbère (E l touche son enveloppe est orthogonale à (S) et que les enveloppes des deux sphères (E), (S) se coupent à angle droit en tous les points de leur intersection; déterminer les lignes de courbure de (E) ;

3' Dans quel cas les deux familles de lignes de courbure de (E) se composent-elles de cercles? Déterminer, dans ce cas, la deuxième famille de sphères dont (E) est l'enveloppe et trouver le lieu des centres de ces

sphères.

i Licence, Nancy 1900 1.

115. Une surface étant rapportée à des axes rectangulaires, soient P la projection d'un point quelconque i\l sur le plan xOy, A le pied de la normale en I\I sur le même plan. Déterminer la surface passant \n\v le cercle

pour laquelle les deux angles XOY, POA ont les mêmes bissectrices; montrer que les deux familles de lignes de courbure se composent, l'une de cercles, l'autre de coniques spbériques ; parmi ces dernières, voir s il n en a qui se réduisent à des cercles.

(Licence, Montpellier 1907.)

110. in Déterminer tous les hélicoïdes dont la courbure moyenne est

nulle; retrouver en particulier l'hélicoïde réglé et la surface de révolution minima ;

2" Déterminer les lignes de courbure de ces hélicoïdes.

(Licence. Paris 190». 1

EXERCICES PROPOSES. ï i l

I [T. Lorsqu une surface est engendrée par une conique passanl par deux points fixes, si ces deux points sont des points non singuliers «le la surface, les coniques génératrices sont divisées bomograpbiquement, et par leurs lignes conjuguées, et par chacune des deux, familles de lignes asymptoi iques*.

On démontrera la proposition en supposant que la conique est un cercle dont le plan est parallèle à une direction fixe et l'on fera ensuite une transformai ion homographique..

i Comptes rendus, janvier [888. i

I IN. [ ne surface étant rapportée à un réseau conjugué (m, p), les imis coordonnées d'un de ses points vérifient une équation de la forme

<>*- 0 (>0 di)

ôudv Ou av

i" Démontrer que les conditions nécessaires et suffisantes pour que les lignes v = const. soient les courbes de contact de cylindres circonscrits ou les courbes de contact de cônes circonscrits sont, respectivement.

v Ou '

a" Quand, sur une surface, deux familles tic courbes conjuguées smii composées, l'une de lignes planes, l'autre de courbes de contact de cônes ou de cylindres circonscrits, ces cylindres ont leurs génératrices parallèles à un même plan, ces cônes ont leurs sommets sur une même droite.