ÉTUDE SPÉCIALE DES COORDONNÉES CURVILIGNES

119. Démontrer que si l'on rapporte une surface à l'un des trois réseaux formés par les lignes asymptotiques, par les lignes de courbure, ou par les lignes diagonales, les équations différentielles des deux autres réseaux sont Tune et l'autre de la forme

A du---- B ch- = o.

Pour la définition des lignes diagonales, cf. Exercice 98.

120. i° Former le ds* de la surface spirale (Ex. 99) définie par les équations

./■ = ne'"* eosl'fi -+- km), y — aema sin ( \i -- Ara), z = hema,

dan* lesquelles a et h représentent des fonctions de p;

2° Démontrer qu'on peut, par un changement de variables, ramener cette expression à la forme

ds*= e^{du"--i- U2rf?2),

U étant fonction de la seule variable «;

3° Démontrer que le théorème de Bour s'applique aux surfaces spirales, c'est-à-dire qu'il existe une infinité de telles surfaces admettant le même clément linéaire {Maurice Lévy); montrer qu'on peut obtenir, par des quadratures, les équations de ces surfaces.