On considère un élément linéaire de la forme

du- i-A -

. I | ds-

(Aa+Bc+ C)ï

\.P>,<! étant trois fonctions d'un paramètre / qui est lui-même relié aux

coordonnée'- //. v par la relation

(2) Vu -+- B'v - C'= o.

Démontrer les propositions suivantes :

EXERCICES PROPOSES. ,\\i

i" Les courbures géodésiques des lignes coordonnées son( fonctions l'une «le I autre, c'est-à-dire satisfont à une équation de la forme

\ Pi

a' Réciproquement tout réseau orthogonal et isotherme dont les courbures géodésiques sont fonctions l'une de l'autre permet de mettre le </<- -ous la forme précédente ;

'>" Les lignes t = const. sont des cercles géodésiques, dont chacun coupe les lignes coordonnées sous un angle constant.

(Travaux et Mémoires de l'Université de Lille, t. \, 1901.)

\"ïi. Démontrer le théorème suivant :

Pour qu'une surface admette deux familles de lignes isométriques dont les courbures géodésiques soient dans un rapport constant, il faut et il suffît qu'elle soit applicable su/- une surface de révolution : il y a alors une infinité de systèmes de lignes répondant, à la question; toutes ces lignes sont des loxodromies et l'inclinaison sur les méridiens reste la même pour toutes les loxodromies d'une même famille.

12;}. i" S'il existe sur une surface un réseau orthogonal et isotherme formé de lignes coniques géodésiques et tel que les courbures des lignes coordonnées soient fonction l'une de l'autre, démontrer que le ds- est de l'une des deux formes suivantes, a, l> étant constants :

(1) (au liv ) (du--~- dv2),

■2" Montrer quel est, dans chacun de ces deux cas, la relation constante qui existe entre les courbures des lignes u = const., v= const., et donner', sous forme finie, l'équation des lignes géodésiques;

3" Dans le premier cas, la surface est applicable sur une surface de révolution; démontrer que l'arc <r du méridien et le segment T de la tangente limitée à l'axe sont liés par la relation T — 3j = const.

1 Travaux et Mémoires de Lille, loc. cit.)

124, Démontrer que si l'élément linéaire est donné par la formule

m- du- -+■ dv'1

ds- =

/< arc tan? - — Aarctang —

pe v -4- qe

p, q , m,h,k étant des constantes liées par la relation

jj.j EXERCICES PROPOSÉS.

1" La surface a une courbure totale constante et égale à K; ■>." Les courbures géodésiques des deux lignes coordonnées qui passent

au point («,c) sont 1 une et 1 autre fonction de — ; trouver leur expression

en lonclion <le — ;

; " Les lignes — = const. sont des cercles géodésiques ; leur courbure taneentielle et celle des lignes coordonnées satisfont à la relation :

V7«2-t- c- u v P Pa Pi

(Travaux et Mémoires de Lille, foc. cit.)

123. i° Trouver tous les modes de représentation de la sphère sur le plan dans lesquels les aires soient conservées, les méridiens correspondant à des droites concourantes et les parallèles à des droites parallèles;

2° Déterminer les lignes géodésiques de la surface dont l'élément linéaire est donné par la formule

ds- = ( x'2 4- y- 4- a2 ) ( dx- -+- dy% ) .

(Licence, Paris 1911.)

1-26. S'il existe, sur une surface réglée, un système de géodésiques divisant bomographiquement les génératrices rectilignes, la surface est applicable sur une quadrique; s'il en existe deux, elle est applicable sur un byperboloïde de révolution. (Bioche.)

127. Intégrer l'équation des lignes géodésiques lorsque l'élément linéaire est donné par la formule

ds* = V [du* 4- (m H- V, V- dv* |,

où V et V| désignent des fonctions de v.

On reconnaîtra, en appliquant la méthode de Jacobi (page 36-a), que l'équation aux dérivées partielles admet une solution de la forme

el l'intégration s'achèvera sans difficulté. Faire voir que, si V, est nul, la surface est applicable sur une surface spirale (Ex. 117).

128. Déterminer tous les systèmes de coordonnées qui donnent à l'élément linéaire du plan la forme

du*- 4- di>"- U étant une fonction de u, V une fonction de v.

EXERCICES PROPOSÉS. i4 '»

Même question pour l'élément linéaire de la sphère.

Ii(.). Lorsque l'élément linéaire est de la forme

ds* = E du- -4- ->. F du dv -+- (i dv'1,

E, l'\ (î étant des fonctions homogènes de même degré m, cet élément, convient à une infinité de surfaces qu'on peut déterminer par de9 quadra tures; ce sont des surfaces spirales si rn~\-:>. est différent de zéro, des surfaces de révolution ou des hélicoïdes si m -+-2= o.

130. En laissant de côté les surfaces de révolution et les surfaces canaux, les seules enveloppes de sphères à un paramètre, qui soient divisées en carrés par leurs lignes de courhure, sontdéfinies par lesdeux conditions suivantes :

1" Le centre de l'enveloppée décrit une ligne plane :

a* Cette enveloppée coupe orthogonalement une sphère fixe ayant son centre dans le plan de la courbe des centres;

Démontrer cette proposition et donner, en termes finis, l'équation des lignes de courbure non circulaires.

•131. On considère une surface réglée (R) dont l'intersection avec une sphère (E) est une ligne asymptotique ; une sphère variable est assujettie à couper orthogonalement la sphère (2) tandis que son centre décrit la surface réglée. Démontrer que l'enveloppe de la sphère mobile est divisée en carrés infiniment petits par une suite de cercles et leurs trajectoires orl hogonales.

Réciproquement, toute surface qui admet un réseau orthogonal et isotherme comprenant une famille de cercles est l'enveloppe d'une sphère qui coupe orthogonalement une sphère fixe, tandis que son centre décrit une surface réglée coupée par la sphère fixe suivant une ligne asymptotique.

132. Trouver toutes les surfaces réglées qui sont divisées en carrés par leurs lignes de courbure.

133. Déterminer les surfaces réglées applicables sur une surface de révolution.

On supposera l'élément linéaire mis sous la forme (page 3i8)

ds- = ( 1 -+- rn- u- ) sin2 ta dv- -4- ( du -+- dv cos u> )2

et l'on identifiera avec la forme

i |G EXERCICES PROPOSÉS.

Appliquer le même procédé à la recherche des surfaces réglées dont le dsi peut rire ramené à la forme de Lion ville.

134. On sait, que les surfaces à courbure moyenne constante sont divisées en carrés par leurs lignes de courbure; déterminer, en dehors de ce cas particulier, toutes les surfaces isothermiques dont les courbures principales sont fonctions l'une de l'autre :

i° Démontrer qu'on peut choisir les paramètres u,v des lignes de courbure d'une telle surface, de telle sorte qu'on ait

2" L'élément linéaire est alors de la forme

ds*- = f " , ( U* e2" du* -+- V2 e-*» dv*- ) ;

montrer que les fonctions U et Y ne peuvent pas être choisies arbitrairement; chercher la relation qui doit exister entre ces deux fonctions;

)° Calculer les courbures géodésiques des deux lignes de courbure;

i" Démontrer que chacune des lignes u-t-v = const. coupe sous un angle constant toutes les lignes de courbure; que, de plus, ces lignes forment sur la surface une famille de cercles géodésiques;

5° La surface est engendrée par des hélices circulaires et, le long de chacune de ces hélices, le plan oscillateur fait un angle constant avec le plan tangent a la surface;

6° La surface est un hélicoïde; chercher quel est le caractère particulier des hélicoïdes isothermiques.

(Dkmartrks, Annales de Toulouse^ 20 série, t. IV. >