BAK

Le point I, où la tangente est parallèle à la corde AB, n'est plus le milieu de l'arc AB, mais le point qui divise cet arc dans le

rapport ; si l'on exprime en effet que la courbure de l'arc AI

e-a égale à — - — on a, en conservant les notations précédentes,

Les courbures — > -^ sont donc, dans le cas actuel, infiniment n n

Fie. io.

petites, mais évidemment équivalentes; le rapport — a donc bien

pour limite •

Substitution d'un arc de cercle à l'arc de courbe. — Nous reviendrons ici, pour le préciser, sur le procédé qui consiste à substituer, à un arc infiniment petit AH d'une courbe plane, l'arc de cercle qui passe par A, B et un troisième point C infiniment voisin des deux premiers.

Considérons (fig. il) pour cela le point G dans les positions successives qu il peut occuper depuis le point A jusqu'au point B. Le centre du cercle qui passe par A, B, C se déplace sur la perpendiculaire élevée au milieu de AB, et vient coïncider successivement avec les points du segment K , , bv2 de cette droite.

Lorsque C est en A, le cercle est tangent intérieurement à la courbe, si l'on adopte la disposition de la figure î i : l'arc de cercle est alors évidemment moindre que l'arc de la courbe. Le contraire a lieu quand C vient en B, le cercle K2 correspondant étant alors tangent extérieurement à l'arc de courbe AB. Il existe donc, entre ces deux positions extrêmes de G, une position intermédiaire pour laquelle le cercle et la courbe se traversent, de telle sorte que les arcs AB aient, sur l'un et sur l'autre, des longueurs rigoureusement égales. Le centre de ce cercle est situé à l'intérieur

CIIAl'ITKK II.

— THEORIE M CONTACT. COURBES ENVELOPPES. il

du segment k|lv,: sou rayon est compris entre les rayons de courbure correspondant à Y et à B. Nous dirons que ce cercle est équivalent à la courbe, dans retendue de l'arc AB.

L'arc AB étant infiniment petit, les trois points infiniment

Fis.

voisins A, B, C déterminent un segment de cercle capable de la demi-courbure de cet arc et qui peut être substitué au segment curviligne dans toute question où n'interviendront que les longueurs s, / de cet arc et de sa corde.

Différence entre un arc infiniment petit et sa corde. — Soit R l'angle de contingence, ou la courbure totale, de l'arc AB. On a, dans le cercle équivalent, dont nous appelons le rayon p,

d'où

l = 2p sin

Ko.

sin —

La différence entre un arc infiniment petit et son sinus a pour partie principale le sixième du cube de l'arc; la différence 5 — /

a donc pour partie principale p — = — ; — , : or, p est compris,

d'après ce qui précède, entre les rayons de courbure aux deux extrémités de l'arc AB; nous pouvons donc écrire

R étant le rayon de courbure au point A.

3l PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

13. Courbes enveloppes. - Lorsque les points A, B (Jig. 9) tendent à se confondre, l'angle AKB, qui a pour limite deux droits, devient le plus grand angle du triangle ABK. Le côté AK reste donc, à partir d'un certain moment;, inférieur à AB et, par suite, tend vers o ; en d'autres termes, les trois points A, B, K ont même position limite, et un point quelconque de la courbe peut être considéré comme la limite du point di intersection de deux tangentes infiniment voisines. Transformée parla méthode des polaires réciproques, cette remarque conduit à la proposition suivante :

Théorème. — Une droite mobile dont la position dépend d'un paramètre unique reste constamment tangente à une certaine courbe ; le point de contact est, à chaque instant, la limite du point où la droite mobile rencontre la droite infiniment voisine.

Considérons, plus généralement, une famille de courbes variables (C) dépendant d'un paramètre l) supposons que les deux courbes qui correspondent à des valeurs voisines /, t' du paramètre, aient constamment un ou plusieurs points communs, t restant compris dans un intervalle donné; que, de plus, un point M commun aux deux courbes voisines C, C ait pour limite, lorsque t' — t tend vers zéro, un point déterminé m de C ('); lorsque t varie, ce point m décrit une courbe T que nous appellerons le lieu des intersections successives des courbes (G).

Ceci posé, soient C0, C| , C2, . . . , Crt une suite de courbes correspondant aux valeurs /„, £,, t2l . . • , t„ du paramètre ; MA un point d'intersection de Ca i et G*, Ma+i le point voisin de M* où se coupent Ca, Ga+1, et ainsi de suite; par les n points M,, M 2, ..., M„,, nous pouvons faire passer une courbe d'espèce donnée, par exemple une parabole de degré /?, de direction asvinptotique donnée; cette parabole est complètement déterminée.

Faisons croître n indéfiniment, de telle sorte que chacun des intervalles t^ — /* , tende vers o ; l'arc de parabole correspondant à l'intervalle complet l0 tn tendra évidemment à se confondre avec l'arc correspondant de la courbe T; comme d'ailleurs cette para-

(') Il n'en est pas toujours ainsi ; il peui arriver que chaque courbe (C ) soit complètement intérieure à la courbe infiniment voisine, ou encore qu'un point réel d'intersection de ces deux courbures n'ait aucune position limite déterminée.

ClIAI'ITItK II.