THEORIE 1)1 CONTACT, COURBES ENVELOPPES

bole et la courbe variable C* ont en commun la corde Ma-1YI*+i, la courbe Y touche la courbe Ga au p'oinl mit limite du point M/,. Envisagée à ce point de vue, r s'appelle l'enveloppe des courbes (^;

Fi", m.

celles-ci prennent le nom d'enveloppées et l'on a le théorème suivant :

Théorème. — Le lieu des intersections successives d'une famille de courbes à un paramètre constitue une enveloppe de cette famille de courbes; le point de contact de l enveloppe avec chacune des enveloppées est la limite du point où celle-ci rencontre l enveloppée infiniment voisine.

Développée d'une ligne plane. — Lorsqu'un point M décrit

Fie. i3.

une courbe (G), le centre de courbure correspondant u décrit une courbe Y (fig. i3) qu'on appelle la développée de C ; la courbe donnée C est dite développante de Y ; nous avons vu (§ 7) que le centre de courbure est la limite du point commun à deux normales infiniment voisines; la développée d'une ligne donnée n'est autre chose que l'enveloppe des normales à cette ligne. Soient AB un arc donné de la courbe, a, J3 les centres de courbure aux deux extrémités de cet arc, M, M' deux points infiniment voisins appartenant à l'arc AB; u, u! les centres de courbure correspondants; le théorème relatif à la variation de la longueur d'un segment recti- D. 3

3j PREMIERE PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

ligne donne immédiatement

W [j.' — AI \j. r^j arc \i.\j! .

Prenons comme variable lare a;j.= 7, appelons / la longueur du vecteur Mut. ; nous avons alors

— = i, l — Ââ = (T, BB— Aa = arcaB,

d'où ce théorème :

Théorème. — La longueur d'un arc quelconque de la développée est égale à la différence des rayons de courbure correspondants de la développante.

De là résulte un procédé de construction mécanique de la développante. Imaginons un fil parfaitement flexible et inextensible, fixé par une de ses extrémités au point (3, s'enroulahl sur Tare [iia, et tendu en ligne droite suivant la tangente a A ; si la longueur de ce (il est telle que son extrémité soit en A, il suffira de le dérouler, en le maintenant constamment tendu, pour que cetle extrémité libre vienne coïncider successivement avec tous les points de l'arc AB. Cette propriété justifie le nom de développée donné au lieu des centres de courbure. Remarquons que si l'on porte sur les normales de la développée, dans un sens ou dans L'autre, une longueur constante A V, = MM, = BB,, le lieu du point M, restera normal à la droite variable Mu. (§ 4), il aura donc même développée que la courbe donnée. En d'autres termes, une courbe admet une infinité de développantes et l'on peut décrire mécaniquement l'une quelconque d'entre elles en donnant une longueur convenable au fil dont nous venons de parler.

Supposons que la courbure soit constante tout Je long de l'arc VB, l'arc au.', étant la partie principale de l'accroissement du rayon de courbure, est alors nul : les développées se réduisent à un point où viennent concourir toutes les normales ; la courbe donnée est, par suite, un cercle | § l). Le cercle est donc la seule courbe plane dont la courbure soit constante en chaque point.

Remarquons enfin que la propriété précédente ramène le problème de la rectification d'une courbe quelconque à la détermination d'une quelconque des développantes de cette courbe: si l'on considère en particulier celle qui passe par un point y. de La courbe considérée, l'arc oc{3 de cette ligne, correspondant à un