PRÉFACE. VII

ne prendre qu'un exemple, que la définition des lignes géodésiques, qui devrait logiquement être donnée dès le début de la théorie des surfaces, est rejetée le plus souvent au Chapitre où l'on traite du calcul des variations.

M. Demartres a cherché à combler ces lacunes, à remédier à ces imperfections, en rédigeant, dans l'ordre logique, le développement des questions qui forment le fond essentiel du certificat de Géométrie supérieure. Il a réussi, tout en conservant à ce Cours une forme relativement élémentaire, à le conduire assez loin pour que ses lecteurs puissent ensuite aborder l'élude des Mémoires originaux et des Traités d'ordre plus élevé, comme celui de M. Darboux.

L'Ouvrage se compose de quatre Parties :

La première Partie comprend sept Chapitres où les différentes questions du programme sont traitées géométriquement et sans recourir à l'Analyse, dans leurs parties essentielles; on pourra, sans inconvénient, la laisser de côté dans une première lecture, la théorie générale avant été reprise, à partir de son début, dans les Chapitres suivants; elle pourra surtout servir à comparer, dans certains cas, les deux solutions fournies par l'Analyse et par la Géométrie, comparaison qui ne pourra être qu'intéressante et utile.

Les trois dernières Parties forment le cours proprement dit; elles contiennent, prise à son origine, la théorie des lignes planes ou gauches, libres ou situées sur une surface donnée et celle des surfaces en coordonnées curvilignes. Ces questions y sont traitées analytiquement, à l'aide d'un procédé que l'auteur s'est efforcé de rendre uniforme et régulier. L'emploi de l'Analyse s'impose, en effet, au point de vue didactique, à cause de la généralité de ses méthodes et de leur facilité d'application; mais ces avantages sont compensés par d'assez grands inconvénients; en premier lieu, de la mise en équation à la solution, la

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question proposée est, en général, perdue de vue; le raisonnement est en réalité supprimé; si, par l'usage de l'Analyse, l'étudiant acquiert rapidement une certaine habileté dans le maniement des formules, il finit par perdre l'habitude du raisonnement direct, et par renoncer à cette méthode, bien autrement instructive, qui consiste à considérer les choses en elles-mêmes et sans les perdre de vue dans le cours du raisonnement {Cf. Poinsot, Théorie nouvelle de la Rotation des corps, § II).

Un second défaut de la méthode purement analytique est de conduire bien souvent à des solutions incomplètes; si l'on veut résoudre, sur une courbe donnée, un problème déterminé, les éléments géométriques qui figurent dans la définition de la courbe doivent figurer également dans la construction à laquelle on est conduit; par exemple la formule qui donne le rayon de courbure,

en un point M, de la courbe — -f- — = i n'est pas immédiatement

applicable à l'ellipse définie par ses foyers et son grand axe; il faut, pour compléter la solution trouvée, transformer cette formule de manière à y faire apparaître les rayons vecteurs du point M; sinon on encourrait le reproche de s'être arrêté à moitié chemin.

L'infériorité de la méthode analytique, telle quon V applique ordinairement, peut se manifester d'une autre manière : supposons qu'on cherche à évaluer la distance d'un point dune courbe gauche au plan oscillateur infiniment voisin; la solution par l'Analyse, réduite à des termes géométriques, donne pour cette dislance

, , ds d7 d~ . r , , , -

I expression ; > les trois facteurs du numérateur étant les arcs

infiniment petits de la courbe et de ses deux indicatrices sphé-

riques; or, l'élude directe de la question conduit à la formule

ds da cl- , . . , . . ,

— ; n esl-il pas évident que celte dernière expression est, en

quelque sorte, plus instructive que la précédente?

On peut, dans une certaine mesure, tout en employant l'Ana-